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Écrire les figures de la géométrie

Ecrire les figures de la géométrie est une idée qui fut chère à  Leibniz, et qui se ramenait en quelque sorte à  écrire les figures comme on écrit les mots ou comme on écrit les nombres. Ceux que ce point de vue intéresse en trouveront tous les détails dans le lien donné en référence sur le livre La Logique de Leibniz en particulier à  partir de la page 409. Voici comment se pose le problème :

En ce qui concerne nos connaissances essentielles, la simplification de leurs fondements a souvent été suivie par l'élaboration d'une écriture spécifique, et cette écriture spécifique a ensuite permis un développement tout à  fait profitable du domaine sur lequel elles portaient.

C'est ainsi que par exemple les égyptiens, pour consigner leurs connaissances, utilisèrent des hiéroglyphes. Ils constituaient une découverte tout à  fait exceptionnelle, mais elle n'était pas encore au point, car par exemple le nombre de signes à  employer augmentait au fur et à  mesure des besoins. En réduisant ces pictogrammes au nombre définitif de 25 on a obtenu l'écriture alphabétique actuelle, dont l'efficacité fut surprenante. En particulier elle a permis l'élaboration des dictionnaires o๠nos connaissances ont été compilées ce qui a fortement contribué à  la structuration et par suite à  la progression de ces connaissances.

Par exemple encore, après les cailloux insérés dans des boules d'argile (les fameux calculi) une découverte fabuleuse fut l'invention d'une écriture pour les nombres, dont la numération romaine. Ils notaient le nombre un par la lettre I, le nombre dix par la lettre X, le nombre cent par la lettre C, le nombre mille par la lettre M, création qui devait donc se poursuivre indéfiniment à  mesure qu'on s'élevait dans l'échelle des nombres, ce qui, ici aussi, n'était pas très au point . En réduisant cette écriture aux dix chiffres de 0 à  9 on a obtenu l'écriture numérique actuelle avec les progrès que l'on sait.

Par exemple encore, dans la nature, il existe un nombre pratiquement infini de substances et de mélanges. Au XIXe siècle, en montrant qu'ils se réduisent à  la composition de quelques corps simples en nombre bien déterminé, les chimistes ont introduit l'écriture des corps composés o๠l'eau s'écrit H2O, le sel NaCl etc.

Ainsi par ces quelques exemples pouvons nous vérifier que :
la réduction des fondements dans une connaissance quelconque
''permet ensuite l'établissement d'une écriture
qui apporte à  son tour des développements nouveaux.''

Une pareille réduction a aussi été opérée en géométrie il y a peu plus de cent ans. Elle est due à  David Hilbert qui a ramené les fondements de la géométrie à  une vingtaine d'axiomes. Ils contiennent des propriétés d'ordre, d'appartenance, de continuité. Et ils contiennent aussi des relations qui sont en quelque sorte la partie structurante de la géométrie. Or ces relations sont seulement au nombre de trois : Cette réduction peut-être considérée comme un évènement majeur dans cette science, mais au contraire des exemples que nous avons donnés, elle n'a pas été suivie par l'élaboration d'une écriture spécifique à  la géométrie.

Or une telle écriture est dorénavant tout à  fait possible. Elle consiste, en suivant justement l'intuition de Leibniz, à  coder de façon opératoire les trois relations que D. Hilbert a reconnues comme fondamentales pour la géométrie euclidienne. Et cette écriture changera alors notre approche de la géométrie qui s'enseigne encore, pour les niveaux élémentaires, comme elle s'enseignait au temps d'Euclide. Il s'agit d'un changement radical. Dans le cours de Géométrie les petits écoliers n'auraient plus alors seulement à  savoir dessiner des carrés, rectangles, losanges et triangles de toutes sortes comme ils le font depuis des siècles, mais ils auraient maintenant d'abord à  savoir les écrire.

Références

Les lecteurs intéressés par ces développements pourront utilement utiliser les liens donnés ci-dessous en référence.

La Logique de Leibniz. Louis Couturat ([1])
La Géométrie des Couples pour une écriture des figures de la géométrie ([1])