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Algèbre multilinéaire

En mathématiques, l'algèbre multilinéaire étend les méthodes de l'algèbre linéaire. Tout comme l'algèbre linéaire est bà¢tie sur le concept d'un vecteur et développe la théorie des espaces vectoriels, l'algèbre multilinéaire bà¢tit sur le concept d'un tenseur et développe la théorie des 'espaces tensoriels'. En applications, de nombreux types de tenseurs surviennent. La théorie essaie d'être compréhensive, avec une gamme correspondante d'espaces et un compte-rendu de leur relations.

Sommaire
1 Historique de l'approche vers l'algèbre multilinéaire
2 Conclusion de l'approche abstraite
3 Contenu de l'algèbre multilinéaire
4 Du point de vue des applications

Historique de l'approche vers l'algèbre multilinéaire

Le sujet lui-même a des racines variées allant jusqu'aux mathématiques du XIXe siècle, dans ce qui fut appelé l' analyse tensorielle ou le "calcul tensoriel des champs tensoriels". Il s'est développé à  partir de l'utilisation des tenseurs dans la géométrie différentielle, la relativité générale et dans de nombreuses branches des mathématiques appliquées. Vers le milieu du XXe siècle, l'étude des tenseurs fut reformulée plus abstraitement. Le traité du groupe Bourbaki, l'Algèbre multilinéaire, fut particulièrement influente — en fait le terme algèbre multilinéaire a probablement été inventé là .

Une des raisons d'alors était une nouvelle aire d'application, l'algèbre homologique. Le développement de la topologie algébrique durant les années 40 donna de l'incitation additionnelle au développement d'un traitement purement algébrique du produit tensoriel. Le calcul des groupes homologiques du produit des deux espaces implique le produit tensoriel; mais seulement dans les cas les plus simples, tel qu'en un tore, est-ce calculé directement de cette façon (voir théorème de Kà¼neth). Les phénomènes topologiques étaient assez subtils pour avoir besoin de meilleurs concepts fondamentaux.

Le matériel à  organiser était bien cher, incluant des idées allant jusqu'à  Hermann Grassmann, les idées venant de la théorie des formes différentielles qui avaient mené à  la cohomologie de De Rham, ainsi qu'à  des idées plus élémentaires telles que le produit extérieur qui généralise le produit croisé.

La description résultante plutà´t sévère (par Bourbaki) rejeta entièrement une approche dans le calcul vectoriel (l'itinéraire de quaternion, c'est-à -dire, dans le cas général, la relation aux groupes de Lie). Ils appliquèrent au lieu une approche nouvelle en utilisant la théorie des catégories, avec l'approche du groupe de Lie étant vue comme une matière distincte. Puisque cela mène à  un traitement beaucoup plus propre, il n'y aura probablement plus de retours en arrière en termes mathématiques. (Strictement, l'approche de la propriété universelle fut invoquée; ceci est quelque plus général que la théorie des catégories, et la relation entre les deux moyens alternatifs peut aussi être clarifiée, en même temps.)

En effet, ce qui a été fait est presque précisément pour expliquer que les espaces tensoriels sont les constructions requises dans le but de réduire les problèmes multilinéaires à  des problèmes linéaires. Cette attaque purement algébrique ne transfére aucune intuition géométrique.

Son bienfait est qu'en réexprimant des problèmes en termes d'algèbre multilinéaire, il ya une 'meilleure solution' claire et bien définie : les contraintes que la solution exerce sont exactement ceux que vous avez de besoin en pratique. En général il n'y a pas de besoin d'invoquer quelconque construction ad hoc, idée géométrique ou recours pour coordooner des systèmes. Dans le jargon catégoriel-théorique, tout est entièrement naturel.

Conclusion de l'approche abstraite

En principe l'approche abstraite peut recouvrir tout ce qui est fait via l'approche traditionnelle. En pratique cela peut ne pas sembler si simple. D'autre part la notion de naturel est compatible avec le principe de la covariance générale de la relativité générale. Ce dernier fait affaire aux champs tensoriels (les tenseurs variant de point en point sur une variété, mais la covariance affirme que le langage des tenseurs est essentiel à  la formulation propre de la relativité générale.

Quelques décennies plus tard le point de vue plutà´t abstrait venant de la théorie des catégories fut noué avec l'approche qui avait été développée dans les années 1930 par Hermann Weyl (dans son livre célébré et difficile Les groupes classiques). D'une façon cela amena la théorie à  pleins bords, reliant une fois encore le contenu des points de vue anciens et nouveaux.

Contenu de l'algèbre multilinéaire

Le contenu de l'algèbre multilinéaire a changé bien moins que la présentation, à  travers les ans. Voici d'autres pages qui y sont centralement pertinentes:

Il y a aussi un glossaire de la théorie tensorielle.

Du point de vue des applications

Consultez ces articles pour certains moyens dans lesquels les concepts de l'algèbre multilinéaire sont appliqués, dans diverses guises: