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Analyse non-standard

Sommaire
1 Introduction
2 Idéalisation
3 Standardisation
4 Transfert
5 Continuité en analyse non-standard
6 Bibliographie
7 Voir aussi

Introduction

Abraham Robinson introduisit dans les années 60 une nouvelle théorie appelée analyse non standard. Il fait référence à  l'axiomatique Zermelo-Fraenkel et y ajoute un nouveau prédicat : le prédicat standard comportant 3 axiomes nouveaux :

  1. l'Idéalité
  2. Standard
  3. le Transfert
Ces 3 axiomes sont plus connus sous le nom IST.

Le qualificatif standard veut dire appartenant à  l'horizon perceptible , non standard comme étant au-delà  de l'horizon perceptible.Un ensemble peut donc être standard ou non standard (on dit aussi charmé) , il ne peut être les deux.

Idéalisation

Soit R(x,y) une relation classique. Pour chaque partie finie F , il existe un x = x_F avec R(x,y) pour tous les y appartenant à  F

si et seulement si

Il existe un x avec R(x,y) pour tout y standard

Exemple

Considérons la relation x différent de y dans un ensemble E infini.Pour chaque partie finie standard F , nous trouvons un élément x = x_F appartenat à  E avec x différent de y pour tout y appartenant à  F.

L'axiome d'idéalisation fournit l'existence d'un élément charmé (ou non-standard) x appartenant à  E différent de tous les éléments y appartenant à  E.

Dans tout ensemble infini , il y a au moins un élément charmé.

Par contraposition :

Si tous les éléments d'un ensemble sont standard , cet ensemble E est infini.(1)

Nombre d'éléments charmés dans un ensemble infini

Soit E un ensemble infini.

E - {x} est aussi un ensemble infini et je puis à  nouveau appliquer le raisonnement ci-dessus.Je peux aussi renouveler cette opération un nombre infini de fois.

Si l'on considère que cette opération épuise les éléments de l'ensemble , nous arrivons à  la conclusion (1) que l'ensemble est fini , ce qui est une contradiction.Si on considère que l'on n'épuise pas les éléments de l'ensemble , nous arrivons à  la conclusion que :

Tout ensemble infini possède une infinité d'éléments non-standard et une infinité d'éléments standards

Standardisation

Soit E un ensemble standard, soit P une propriété.

Il existe un ensemble A standard tel que pour tout x standard appartenant à  A , x appartient à  E avec P(x).

Transfert

Dès que tous les paramètres d'une valeur classique F ont des valeurs standard

Pour tout x standard , F(x,,....) si et seulement si pour tout x , F(x,,...)

Continuité en analyse non-standard

La continuité d'une fonction dans se définit plus simplement avec l'analyse non-standard : est continue si pour tout infiniment petit et pour tout , est infiniment proche de .

Bibliographie

Voir aussi