Accueil |

Axiome

            

Le mot axiome vient du grec αξιωμα (axioma), qui signifie : qui est considéré comme digne ou convenable ou qui est considéré comme évident en soi. Pour certains philosophes grecs de l'antiquité cela représentait une affirmation qu'ils considérait comme évidente qui n'avait nul besoin de preuve. Le mot vient de αξιοειν (axioein), signifiant considérer comme digne, et vient alternativement de αξιοσ (axios), signifiant digne.

En épistémologie, un axiome est une vérité évidente en soi sur laquelle une autre connaissance peut se reposer, autrement dit peut être construite dessus. Précisons que tous les épistémologues n'admettent pas que les axiomes, dans ce sens du terme, existent.

En mathématiques le mot axiome ne désigne pas une proposition qui est évidente en soi. Mais un axiome représente plutà´t un point de départ dans un système de logique. Par exemple, dans certains anneaux, l'opération de la multiplication est commutative, et dans d'autres elle ne l'est pas; ces anneaux dans lesquels la loi est commutative satisfont l'«axiome de la commutativité de la multiplication». Un synonyme d'axiome est postulat. Des axiomes servent de base élémentaire pour un système de logique formelle qui avec des règles d'inférence, définissent une logique.

Par exemple, on peut définir une arithmétique simple, comprenant une addition, en posant (en s'inspirant un peu de Peano)

  1. un nombre noté 0 existe
  2. tout nombre X a un successeur noté succ(X)
  3. X+0 = X
  4. succ(X) + Y = X + succ(Y)

Beaucoup de théorèmes peuvent être démontrés à  partir de ces axiomes.

En utilisant ces axiomes, et en définissant les mots usuels 1, 2, 3, et ainsi de suite pour désigner les successeurs de 0 succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(0))) respectivement, nous pouvons démontrer ce qui suit:

succ(X) = X + 1

et

   1 + 2 = 1 + succ(1)    Expansion de l'abréviation (2 = succ(1))

1 + 2 = succ(1) + 1 Axiome 4

1 + 2 = 2 + 1 Expansion de l'abréviation (2 = succ(1))

1 + 2 = 2 + succ(0) Expansion de l'abréviation (1 = succ(0))

1 + 2 = succ(2) + 0 Axiome 4

1 + 2 = 3 Axiome 3 et utilisation de l'abréviation (succ(2) = 3)

Tout résultat que nous pouvons déduire des axiomes n'a pas besoin d'être un axiome. Toute affirmation qui ne peut être déduite des axiomes et dont la négation ne peut pas non plus se déduire de ces mêmes axiomes, peut raisonnablement être ajoutée comme axiome.

Probablement le plus ancien et aussi le plus célèbre système d'axiomes est celui des 4+1 postulats d'Euclide. Ceux-ci s'avèrent être assez incomplets actuellement, et beaucoup plus de postulats sont nécessaires pour caractériser complètement la géométrie d'Euclide (Hilbert en a utilisé 23).

Je précise ici 4+1 parce que le cinquième postulat (par un point en dehors d'une droite, il passe exactement une parallèle à  cette droite) a été suspecté d'être une conséquence des 4 premiers pendant presque deux millénaires. Finalement, le cinquième postulat s'est avéré être indépendant des quatre premiers. En effet, nous pouvons supposer qu'aucune parallèle ne passe par un point situé en dehors d'une droite, ou qu'il existe une unique parallèle, ou encore qu'il en existe une infinité.

Chacun de ces choix nous donne différentes formes alternatives de géométrie, dans lesquelles les mesures des angles intérieurs d'une triangle s'ajoutent pour donner une valeur inférieure, égale ou supérieure à  la mesure de l'angle formé par une droite (angle plat). Ces géométries sont connues en tant que géométries elliptiques, euclidiennes et hyperboliques respectivement. La théorie générale de la relativité est basée essentiellement sur une affirmation que la masse donne à  l'espace une géométrie hyperbolique.

Le fait que des formes alternatives de géométrie pouvaient exister, préoccupa beaucoup les mathématiciens du XIXe siècle et dans des développements semblables, par exemple en algèbre booléenne, ils faisaient généralement des efforts pour déduire les résultats des systèmes d'arithmétique ordinaire. Galois montra avant de mourir avant terme, que tous ces efforts étaient en grande partie gaspillés, et que les développements parallèles des systèmes axiomatiques pouvaient être utilisés à  bon escient, de la même manière qu'il résolut algébriquement beaucoup de problèmes de géométrie classique.

Finalement, les similitudes abstraites existant entre les systèmes algébriques furent perçues comme plus importantes que les détails et l'algèbre moderne était née.

Au vingtième siècle, le théorème d'incomplétude de Gà¶del prouve qu'aucune liste explicite d'axiomes suffisamment grande pour former la base des mathématiques ordinaires, ne pourrait être à  la fois complète (chaque proposition peut être démontrée ou réfutée) et consistante (aucune proposition ne peut être à  la fois démontrée et réfutée).

Voir aussi:

Liens externes