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Congruence

  1. REDIRECT

Les congruences peuvent servir en arithmétique, mais pas uniquement, cependant nous n'aborderons que les congruences dans ℤ dans cet article.

Sommaire
1 Définition de la congruence dans ℤ
2 Classe d'équivalence modulo n
3 Opérations sur les relations de congruence
4 Relations compatibles avec la congruence
5 Voir aussi

Définition de la congruence dans ℤ

a est congru à  b modulo n se note :

avec a,b ∈ ℤ, n ∈ ℤ-{-1;0;1}

On peut aussi écrire a=b(n).

ce qui signifie que (a-b) est un multiple de n

Classe d'équivalence modulo n

Si a ∈ ℤ on note ā la classe d'équivalence de a modulo n, c'est-à -dire l'ensemble des nombres entiers dont le reste de la division par n est le même nombre : ā={b ∈ ℤ tels que a=b(n)}.

Ces ensembles forment une partition de ℤ et des classes d'équivalences.

Opérations sur les relations de congruence

On peut montrer que les trois opérations +, - et à— sont compatibles avec la congruence modulo n (notée ici cl()):

Les congruences sont aussi compatibles avec l'élévation à  une puissance d'exposant entier naturel.

Relations compatibles avec la congruence

à€ compléter

Voir aussi