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Critères de divisibilité

Dans la suite de l'article nous ne considérons que les nombres entiers naturels.

Sommaire
1 Les critères
2 Voir aussi
3 Bibliographie

Les critères

par 2

Un nombre est divisible par 2 s'il est pair (c'est à  dire si le chiffre des unités est 0,2,4,6 ou 8 ).

par 3

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. (Voir divisibilité par 9.)

exemples

explication

sur l'exemple du nombre 123 ci-dessus : on peut écrire
123= 1*10² + 2*10 + 3
123 = 1*(9+1)² + 2*(9+1) + 3
123=1*(81+18+1)+2(9+1)+3
123=9(9+3+2)+1+2+3
9(9+3+2) est forcément divisible par 3, il suffit donc que 1+2+3 soit divisible par 3 pour que 123 le soit. Il s'agit du même principe pour la divisibilité par 9.

On peut généraliser en disant que

par 4

Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par les chiffres des dizaines et des unités est divisible par 4.

exemples

par 5

Un nombre est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5.

par 6

Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible par 2 ET par 3.

Exemple

par 7

Un nombre est divisible par 7 si le résultat de la soustraction du nombre de dizaines par le double du chiffre des unités est divisible par 7.

Exemple

D'une manière plus générale il suffit de répéter l'opération ci-dessus et de vérifier que le reste est un multiple de 7 connu.

Exemple

7416 : 741-2à—6=729, 72-2à—9=54 or 54 n'est pas un multiple de 7 donc 7416 n'est pas un multiple de 7.

Démonstration Si , (a représente donc le nombre de dizaines, b le chiffre des unités), alors comme , on a et le théorème de Gauss nous donne, 7 étant premier avec 10, que a - 2b est divisible par 7. Si a - 2b est divisible par 7, 10 a - 20 b aussi, et donc 10 a + b également.

par 9

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Exemple

par 10

Un nombre est divisible par 10 si le chiffre des unités est 0.

par 11

Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11: N est divisible par 11 si et seulement si la différence A-B (ou B-A) est divisible par 11.

par exemple: pour 19382 on a A=1+3+2=6, B=9+8=17, A-B=6-17=-11 qui est divisible par 11, donc 19382 est divisible par 11.

par 12

Un nombre est divisible par 12 s'il est divisible par 3 et par 4.

par 13

Un nombre est divisible par 13 si son nombre de dizaines plus 4 fois son chiffre des unités est divisible par 13.

Exemples

D'une manière plus générale il suffit de répéter l'opération ci-dessus et de vérifier que le reste est un multiple de 13 connu.

Exemple

7416 : 741+4à—6=765, 76+4à—5=96 or 96 n'est pas un multiple de 13 donc 7416 n'est pas un multiple de 13.

par 17

Un nombre est divisible par 17 si son nombre de dizaines moins cinq fois son chiffre des unités est divisible par 17.

Exemples

221 est divisible par 17 car 22-5*1=17 et 17 est divisible par 17 (17*1=17)

D'une manière plus générale il suffit de répéter l'opération ci-dessus et de vérifier que le reste est un multiple de 17 connu.

Exemple

7416 : 741-5à—6=711, 71-5à—1=66 or 66 n'est pas un multiple de 17 donc 7416 n'est pas un multiple de 17.

par 25

Un nombre est divisible par 25 si son écriture "se termine" par 00, 25, 50 ou 75.

Voir aussi

Trouver un critère de divisibilité

Bibliographie