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Dérivée

        

En mathématiques, la dérivée d'une fonction en un point est la mesure signée de la vitesse à  laquelle cette fonction change lorsque sa variable change. Pour une fonction à  plusieurs variables, on parle de la dérivée partielle par rapport à  l'une de ses variables.

Sur le graphe de la fonction, cela correspond à  sa pente en ce point.

Dans l'exemple ci-contre:
  • en 0, la courbe descend, donc la dérivée y est négative (elle vaut -1)
  • en 1, la courbe descend toujours, mais la pente y est moindre (-0,5).
  • en 2, la courbe est parfaitement horizontale, donc la dérivée est nulle (0).
  • en 3, la courbe monte, donc la dérivée y est positive (0,5).

Une fonction pour laquelle la dérivée existe est dite dérivable.

Une définition mathématique de la dérivée de en est:

Ce calcul de limite revient graphiquement à  rechercher la tangente à  la courbe en ce point.

Au lieu de calculer systématiquement cette limite, il est souvent possible de trouver la fonction dérivée, notée (prononcée f prime), qui prend en tout point la valeur de la dérivée de en ce point.

peut facilement se calculer à  partir d'une expression de  en utilisant un petit nombre de règles algébriques:
Nom Règle Conditions
Linéarité Quelles que soient les fonctions dérivables et et les réels a et b.
Puissance Quel que soit
Produit Quelles que soient les fonctions dérivables et
Quotient Quelles que soient la fonction dérivable et la fonction dérivable non nulle
Racine Quelle que soit la fonction dérivable strictement positive
Composée Quelles que soient les fonctions dérivables et

Voici également quelques dérivées usuelles:
Fonction Dérivée

Notations

Dérivée de f par rapport à  x

Dérivée seconde
Dérivée partielle