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Dernier théorème de Fermat

       

Le dernier théorème de Fermat, ou théorème de Fermat-Wiles, énonce qu'il n'y a pas de nombres entiers positifs non nuls , et tels que

o๠est un entier strictement supérieur à  2. (Pour les premières valeurs de , il existe une infinité de solutions - le cas est évident, le cas admet notamment la solution classique 42 + 32 = 52 et fait appel à  la méthode du cercle).

Le théorème doit son nom à  Pierre de Fermat qui écrivit en marge d'une traduction de l'Arithmetica de Diophante, à  coté de l'énoncé de ce problème :

J'ai découvert une preuve tout à  fait remarquable, mais la marge est trop petite pour l'écrire.
Après avoir été l'objet de fiévreuses recherches pendant plus de 300 ans (cette note laissait penser qu'une démonstration élémentaire était possible - ce qui a donc vivement émoustillé la curiosité des gens), il a finalement été démontré en 1994 par Andrew Wiles. La plupart des mathématiciens pensent aujourd'hui que Fermat s'était trompé : la preuve connue (raffinée depuis) fait appel à  des outils très puissants de théorie des nombres.

Plus précisément, Wiles a prouvé la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelques temps déjà  qu'elle impliquait le théorème. La preuve fait appel aux formes modulaires, à  des représentations galoisiennes, ...

Ce théorème n'a aucune application en soi : c'est par les idées qu'il a fallu mettre en Å“uvre pour le faire tomber, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire qu'il prend une telle valeur.

On peut comprendre ce théorème graphiquement en considérant la courbe d'équation  xn + yn = 1 : si n > 2, cette courbe ne passe par aucun point à  coordonnées rationnelles non nulles.