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Espace topologique

      

Sommaire
1 Principe
2 Définition d'espace topologique
3 Fonctions continues
4 Propriétés
5 Exemples

Principe

L' espace topologique est (presque) le type le plus générique d'espace sur lequel on peut travailler avec des fonctions continues. C'est utile en analyse, en géométrie...

Définition d'espace topologique

Il existe mille et une façons équivalentes d'approcher et de définir ce qu'est une topologie. La plus couramment utilisée est celle en terme d'ouverts:

Une autre façon de définir les espaces topologiques consiste à  faire appel à  la notion prétopologique d'adhérence : on définit une adhérence sur un ensemble E comme une application qui à  toute partie de E associe une partie plus vaste, l'adhérence de la partie vide restant vide. Dans le cas o๠l'adhérence est idempotente et o๠l'adhérence de l'union de deux parties est égale à  l'union des adhérences, on dit que l'adhérence est topologique. Un espace topologique se définit comme un ensemble muni d'une adhérence topologique. Les ouverts sont alors les complémentaires des parties stables pour l'adhérence.

Fonctions continues

L'intérêt fondamental de la notion d'espace topologique est de pouvoir définir ce qu'est une fonction continue.

Une fonction f : A -> B entre deux espaces topologiques A et B est dite continue si l'image inverse de tout ouvert U de B est un ouvert de A. (L'image inverse est l'ensemble de tous les points de A que f envoie dans U.)

En termes d'adhérences, une fonction d'un espace dans un autre est continue si l'image d'un point adhérent à  une partie est nécessairement adhérente à  l'image de cette partie.

Propriétés

Exemples