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Fondation des mathématiques

Vers le début du XXe siècle, les mathématiciens ont essayé de définir le cadre dans lequel ils travaillaient, ce qui a été très productif.

Faire des mathématiques c'est :

La définition ci-dessus est très générale, les mathématiques actuelles sont plus restrictives. Notamment, les "phrases" de départ sont appelées "axiomes" et sont au nombre de neuf (appelés axiomes de Zermelo-Frà¤nkel avec l'axiome du choix, en abrégé ZFC), et la méthode pour déduire des phrases à  partir d'autres phrases est la logique classique.

Les mathématiques actuelles sont basées sur les ensembles, et en fait tout objet mathématique est un ensemble. On ne définit pas ce qu'est un ensemble, mais des règles de manipulations par les différents axiomes de ZFC. Par exemple est défini comme un ensemble. En fait on construit comme ceci: et (voir à  ce sujet l'article sur la construction des entiers naturels). L'Å“uvre de l'association Bourbaki est très représentative de cette façon de voir les mathématiques.

Il est aussi possible de construire les mathématiques actuelles à  partir de la théorie des catégories.

Et il faut signaler que parmi les mathématiciens, certains se contentent des axiomes ZF, et refusent l'axiome du choix (C), car ils considèrent que certaines de ses implications sont contre-intuitives. Certains mathématiciens refusent même ZF et la logique classique qui en est la base, car ils considèrent que tout doit être construit explicitement; c'est la raison pour laquelle on les appelle constructivistes.

à€ noter que l'analyse non-standard définit un prédicat et quelques axiomes supplémentaires à  ZFC pour utiliser ce prédicat. Cela permet d'augmenter le vocabulaire du mathématicien et de simplifier ses phrases. Par exemple la continuité d'une fonction dans se définit plus simplement avec l'analyse non-standard : est continue si pour tout infiniment petit et pour tout , est infiniment proche de . La notion d'infiniment petit est définie en analyse non-standard. On obtient ainsi une définition intuitive de la continuité, tout en étant stricte (modulo les abréviations).