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Géométrie

                

La géométrie est la branche des mathématiques qui consiste en l'étude des figures.

Historiquement très liée à  la topographie, on place souvent ses débuts telle qu'on la connaît dans la Grèce antique, o๠les outils de base de la géométrie étaient (et sont restés) la règle et le compas (qui n'étaient parfois tous les deux qu'une simple corde servant à  tirer des droites, à  tracer des cercles et à  reporter des distances). voir Construction à  la règle et au compas

La géométrie est très importante dans l'histoire des mathématiques, car elle fut une des premières à  être systématisée sous forme d'axiomes (attribués à  Euclide). Jusqu'au XIXè siècle, on n'a considéré que cette géométrie "euclidienne", encore appelée "géométrie plane" ; la géométrie dans l'espace utilisait les axiomes d'Euclide. C'est cette géométrie qui est étudiée jusqu'au lycée.

Au XIXè siècle, avec les travaux de Riemann, Bolyai et Lobatchevsky, on a commencé à  considérer la géométrie sur des surfaces courbes, par exemple à  étudier les propriétés des droites, triangles... tracés sur des sphères ou des hyperboloà¯des, puis à  étendre ces nouveaux axiomes à  l'espace. Ces travaux sur les "géométries courbes" ont été capitaux dans la constitution de la théorie de la relativité générale par Einstein et Poincaré.

La géométrie est utilisée en géodésie.

Sommaire
1 Intérêt de la géométrie
2 Voir aussi

Intérêt de la géométrie

Le but de la géométrie est d'étudier les propriétés des figures.

Nous allons imaginer ci-après ce qu'a pà» être le cheminement qui amena à  l'élaboration de la géométrie, et notamment à  la rédaction des Éléments par Euclide ; il ne s'agit pas là  d'une reconstitution historique, mais plutà´t d'un fable destinée à  illustrer la naissance du concept de géométrie et la notion d'abstraction.

Fable sur la naissance de la géométrie

Dans l'antiquité, les mathématiques correspondaient à  des besoins très concrets du type : « quelles doivent être les dimensions de mon silo pour que je puisse stocker tout mon grain ? Â» (1) Les calculs fait sur objets concrets (ici, les silos et les grains) ne faisaient intervenir que certaines caractéristiques (longueurs, aires, volumes) et n'avaient pas besoin des autres caractéristiques (comme le matériau de construction, l'épaisseur des parois, la masse). Par le processus d'abstraction, les scientifiques (que l'on appelait plus volontier philosophes à  l'époque) ont construit des objets définis uniquement par ces grandeurs ; ces objets abstraits n'ayant pas de constitution matérielle, ils pouvaient être représentés par des dessins sur une surface.

On a donc une distinction entre le dessin d'art, qui avait à  l'époque une connotation religieuse et magique et servait aussi à  l'éducation et à  la conservation de la mémoire, et le dessin géométrique qui n'est qu'un support visuel, une aide à  la réflexion, pour des objets abstraits.

Bibliographie

  1. Éléments d'histoire des sciences, Michel Serres et coll., éd. Bordas, Paris, 1989

Progrès qu'a permis la géométrie

La géométrie peut donc être décrite comme étant "du dessin servant faire un modèle simplifié d'objets réels". Comme tout processus d'abstraction, la géométrie permet de prendre du recul par rapport à  la réalité, et à  simplifier le problème ; on commence par résoudre tout ce qui est relatif aux dimensions de l'objet réel avant de s'attaquer au reste (comment on va construire l'objet, comment on va l'assembler avec les autres objets). La géométrie a donc naturellement permis de grands progrès en architecture et en mécanique, avec notamment la naissance du dessin industriel.

Si quelqu'un vous disait de but en blanc « je construis une voiture fictive Â», vous l'imagineriez, tel Charlot dans les Temps modernes, en train de mimer le vissage des boulons dans le vide, et vous le prendriez sà»rement pour un fou. Or, la notion de projet, ce n'est rien d'autre que cela : travailler sur un objet qui n'existe que dans l'esprit. Cette notion de projet qui nous paraît évidente en raison de notre culture est en fait une violence faite au "bon sens", qui frise la schizophrénie (le "projeteur" vit dans un monde imaginaire). Le dessin permet de "concrétiser", de "matérialiser" l'imagination et donc de sortir le "projeteur" de sa "folie", de lui redonner contact avec la réalité. Cet objet fictif est tracé sur papier, et c'est ce dessin, en tant que support de la réflexion, qui permet d'élaborer l'objet avant même d'avoir pris le premier outil ; il permet aussi l'échange des idées et la transmission d'information (passage du bureau d'étude au bureau des méthodes, puis à  l'atelier de fabrication).

La géométrie est donc une révolution fondamentale dans la manière de penser qui fait naître la notion de projet (projection dans l'avenir, travail sur un objet qui n'existe pas).

En liaison avec la physique, la géométrie permet de faire des calculs théoriques et donc de prédire des événements, du type « jusqu'à  quelle pression mon réservoir va-t-il résister Â» ; on peut donc réduire le nombre d'essais concrets, d'expériences (on ne va construire qu'un seul réservoir et le tester, plutà´t que de procéder par tà¢tonnement en essayant plusieurs types de réservoirs). Elle a en fait permis la naissance de la mécanique, c'est-à -dire de l'étude des mouvements des objets (trajectoire, vitesse) et de leur déformation (notamment résistance des matériaux et répartition des forces dans un assemblage).

La géométrie, et notamment la trigonométrie, est également à  l'origine du développement de la navigation : navigation maritime aux étoiles (avec les sextants), cartographie, navigation aérienne (pilotage aux instruments à  partir des signaux des balises).

Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie. Cela permet notamment de répondre à  la question : « comment représenter un objet fictif complexe de manière compréhensible pour un humain Â».

Voir aussi