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Géométrie non-euclidienne

      

Les géométries non euclidiennes sont des théories géométriques remettant en cause les axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.

Elles sont issues de la volonté de démontrer le Ve postulat (le postulat, après que les 4 autres aient été déclarés des axiomes) qui semblait peu satisfaisant car trop complexe, et peut-être redondant. C'est à  quoi Saccheri, procédant par l'absurde, avait échoué à  la fin du XVIIe siècle.

Dans les Éléments d'Euclide, le postulat ressemble à  un théorème tout en étant bien un postulat : Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même cà´té plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à  l'infini, se rencontreront du cà´té o๠les angles sont plus petits que deux droits, et qu'on peut comprendre comme : Par un point extérieur à  une droite, il passe une parallèle à  cette droite et une seule.

La droite d est la seule droite passant par le point M et parallèle à  la droite D. Tout autre droite passant par M (comme par exemple les droites tracées en pointillée) est sécante avec D.

Cependant, durant de nombreux siècles, la géométrie euclidienne a été utilisée sans que l'on mette en doute sa validité. Elle a même été longtemps considérée comme l'archétype du raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet l'avantage de définir les propriétés intuitives des objets géométriques dans une construction mathématique rigoureuse.

Sommaire
1 La géométrie hyperbolique
2 La géométrie elliptique
3 Voir aussi
4 Bibliographie
5 Liens externes

La géométrie hyperbolique

Nicolaà¯_Ivanovitch_Lobatchevsky, Felix Klein et Henri Poincaré ont créé des modèles de géométrie dans lesquelles on peut tracer une infinité de parallèles à  une droite donnée et passant par un même point.

Il existe une infinité de de droites qui comme d1, d2 et d3 passent par le point M et sont parallèles à  la droite D.

Hormis le le Ve postulat, ces géomètries respectent toutes les autres définitions d'Euclide. Une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin rejoignant deux points sur la surface.

La géométrie elliptique

Riemann a montré un autre modèle de géométrie non-euclidienne, la géométrie elliptique. Dans ce cas par un point extérieur à  une droite on ne peut mener aucune parallèle. Le modèle est très simple :

Il n'existe aucune droite passant par le point M et parallèle à  la droite D.

Voir aussi

Bibliographie

Liens externes