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Gammes et tempéraments


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Sommaire
1 Généralités et principes
2 Quelques préliminaires indispensables ou utiles
3 La gamme pythagoricienne
4 Les gammes naturelles (Zarlino, etc.)
5 Les tempéraments mésotoniques
6 Les tempéraments inégaux
7 La gamme tempérée
8 Tableau comparatif

Généralités et principes

Une des caractéristiques principales des sonss musicaux est leur « hauteur Â», notion subjective à  laquelle notre oreille est sensible et que l'expérience fait correspondre à  leur fréquence, grandeur physique mesurable et susceptible d'être traitée par le calcul.

Si cette grandeur physique n'est connue que depuis moins de deux cents ans, cela n'a pas empêché les théoriciens de la musique, depuis l'Antiquité, de mettre en rapport les sons et les nombres, car ils avaient remarqué que la hauteur du son émis par une corde vibrante ou un tuyau sonore dépendait directement de leur longueur. On sait aujourd'hui démontrer que la fréquence des sons émis par ces corps sont en proportion inverse de ces longueurs, et par conséquent, les mathématiciens du passé avaient pu raisonner de façon correcte sur l'acoustique malgré leur méconnaissance de la théorie des phénomènes vibratoires et des ondes stationnaires.

On a depuis longtemps reconnu le principe de l'équivalence des octaves, selon lequel deux sons dont les fréquences sont dans un rapport de 1 à  2 « sonnent Â» de manière tellement comparable que l'on donne à  deux telles notes le même nom.

L'octave étant reconnue comme l'intervalle sonore le plus simple, il reste à  la diviser en intervalles plus petits car elle ne permet pas à  elle seule de composer ce qu'on peut appeler de la musique. Définir une gamme musicale, c'est donc définir une méthode pour diviser l'octave en intervalles sonores plus petits.

Il existe une infinité de méthodes pour découper une octave en intervalles plus petits. Mais toutes ces méthodes ne sont pas intéressantes :

Dans la musique occidentale, trois gammes particulières ont connu, avec leurs éventuelles variantes, une fortune importante : Elles constituent d'ailleurs entre elles des systèmes musicaux suffisamment voisins pour permettre d'exécuter une Å“uvre musicale dans l'un quelconque de ces systèmes sans la déformer de façon trop sensible.

La construction de ces gammes est expliquée ci-dessous. Mais auparavant :

Quelques préliminaires indispensables ou utiles

Son fondamental, sons harmoniques

Toute fonction mathématique périodique peut être décomposée en une somme de fonctions sinusoà¯dales élémentaires dont les périodes plus courtes, (et donc les fréquences plus hautes) sont en rapport algébrique rationnel avec sa propre période. (décomposition en « série de Fourier Â»)

En acoustique, on va donc distinguer les sons simples correspondant à  une fonction sinusoà¯dale simple : on parle de son fondamental.

Les sons plus complexes (notamment les sons produits, avec leurs timbres spécifiques, par les différents instruments) résultent de la combinaison du son fondamental et de sons plus aigus que l'on appelle ses sons harmoniques (ou simplement « harmoniques Â»). C'est la pondération différente des puissances de ces différents sons harmoniques qui va faire que, par exemple, un violon n'a pas le même « timbre Â» qu'une flà»te émettant un son de même hauteur (c'est à  dire de même fréquence fondamentale).

Intervalless sonores et logarithmes

L'oreille identifie des « intervalles Â», grandeur additive que nous percevons comme une différence de « hauteur Â», quand la physique identifie des rapports de fréquences.

Soient trois sons A, B, C tels que nous analysons les intervalles relatifs B-A et C-B comme identiques. Notons respectivement hA, hB et hC les « hauteurs Â» de ces trois sons : nous écrivons donc : hA - hB = hB - hC

Si nous notons fA, fB, fC leurs fréquences relatives, celles-ci satisfont à  l'équation

fA / fB = fB / fC

La fonction « logarithme Â» est, en mathématiques, celle qui permet de transformer des multiplications en additions (et les divisions en soustractions), ainsi :
log (fA / fB) = log (fA) - log (fB)
log (fB / fC) = log (fB) - log (fC)
donc : log (fA) - log (fB) = log (fB) - log (fC)
expression équivalente à  :
hA - hB = hB - hC

Ceci nous permet de « quantifier Â» la hauteur d'un son, en la définissant comme le logarithme de sa fréquence. Les intervalles (notion initialement subjective) prennent alors une signification mathématique que nous pouvons dorénavant soumettre au calcul. Pour faire des additions et soustractions d'intervalles, nous devrons faire des multiplications ou divisions de rapports de fréquences.

Les harmoniques et les intervalles les plus simples

L'harmonique le plus simple est l'octave, dont la fréquence est double de la fondamentale. Le principe d'équivalence des octaves nous permet de ne considérer que les harmoniques dont la fréquence est comprise entre la fréquence fondamentale F et celle de l'octave supérieure 2xF.

La fréquence 3xF sera ainsi « ramenée Â» dans l'intervalle 1 à  2, en la divisant par 2 c'est-à -dire en descendant d'une octave Â» pour obtenir la fréquence Fx3/2. Cet intervalle, correspondant à  un rapport de fréquences 3/2 ou 1,5, est le plus simple après l'octave, et a une importance primordiale dans la musique occidentale. On l'appelle l'intervalle de « quinte Â».

Les musiciens de l'Antiquité et du Moyen à‚ge considéraient que seuls étaient « consonants Â» c'est-à -dire parfaitement harmonieux, les intervalles d'octave et de quinte.

Partant d'une note quelconque X, nous avons défini son octave XO et sa quinte XQ
Nous avons : f(XO) / f(X) = 2 et f(XQ) / f(X) = 3/2
or : f(XO) / f(XQ) = (f(XO) / f(X)) / (f(XQ) / f(X))
donc : f(XO) / f(XQ) = 4/3.

Ce nouveau rapport de fréquences s'appelle la « quarte Â» : c'est l'intervalle existant entre XQ et XO, c'est le complément de la quinte par rapport à  l'octave, et il définit un nouveau son harmonique de la fondamentale, Xq tel que f(Xq) / f(X) = f(XO) / f(XQ) = 4/3

La quarte et la quinte étant définies, on nomme « ton majeur Â» ou seconde majeure leur différence.
Si XT est la note qui diffère d'un ton majeur de X, on a :

f(XT) / f(X) = (f(XQ) / f(X)) / (f(Xq) / f(X))
Donc f(XT) / f(X) = (3/2) / (4/3) = 9/8.

Terminologie et étymologie

En anticipant sur ce qui est expliqué après, les méthodes de division de l'octave en intervalles ont depuis très longtemps donné naissance à  la gamme dite heptatonique, c'est-à -dire comprenant sept notes dans un intervalle d'octave.
Ces notes ont été nommées, dans le sens ascendant
En français do mi fa sol la si do
Équivalence anglo-saxonne C D E F G A B C

Le SOL est la « quinte Â» de DO c'est-à -dire la cinquième à  partir de DO (comptée comme première) Le do est l'octave de DO, c'est-à -dire la huitième à  partir de DO On voit que do est la « quarte Â» de SOL, c'est-à -dire la quatrième à  partir de SOL. De même, FA est la « quarte Â» de DO ou, ce qui revient au même, do est la « quinte Â» de FA.

On voit aussi qu'un ton majeur sépare FA (quarte de DO) et SOL (quinte de DO)

On parle aussi de gamme « diatonique Â», celle ou les notes successives ont des noms distincts — la gamme chromatique étant celle ou certaines notes prennent les mêmes noms avec dièse ou bémol et viennent s'intercaler entre les sons de la gamme diatonique.

En fait, aucune gamme n'est exempte d'inconvénients de diverses natures : un tempérament est une façon de la modifier légèrement pour en atténuer certains, parfois en en amplifiant d'autres.

Ce système est désigné sous le vocable de solfège.

La gamme pythagoricienne

La gamme « pythagoricienne Â» ou de Pythagore remonte aux mathématiciens grecs de l'Antiquité - Pythagore est connu en géométrie pour son célèbre théorème. On peut aborder cette construction par l'acoustique, en se fiant au sens de l'ouà¯e, ou par les mathématiques.

Partant de la note fondamentale DO, en s'élevant par intervalles de quintes successives et en ramenant la note obtenue dans la première octave, on trouve successivement les notes suivantes : SOL, RE, LA, MI, SI, FA#, DO#, SOL#, RE#, LA#, MI# et SI# qui est pratiquement le DO à  l'octave de la note de départ, par lequel on le remplace. On remarque qu'après être monté continà»ment, de DO à  SI, les notes suivantes après le FA# repartent du bas de la gamme, elles se situent légèrement au dessus des notes déjà  trouvées, et on leur donne le même nom, avec un dièse.

La différence entre ces deux notes, très minime mais audible, s'appelle le comma pythagoricien et son existence est communément traduite en ce que « le cycle des quintes Â» ne se referme pas. On est obligé d'introduire un intervalle de quinte légèrement faux (la « Quinte du loup Â») pour maintenir des octaves pures, ce qui est considéré par tous les musiciens comme indispensable.

En partant du DO supérieur et en descendant d'un intervalle de quinte, on obtient la note FA, pratiquement égale au MI# précédemment obtenu et auquel on le substitue.

La gamme pythagoricienne est la succession des notes obtenues par ce procédé et qui se trouvent diviser l'octave en intervalles grossièrement équivalents. Les notes non diésées sont au nombre de sept : la gamme diatonique est une gamme « heptatonique Â». Sur un piano, elles seraient produites par les touches blanches. Quant à  la gamme chromatique, composée de toutes les notes obtenues sauf celles qui font presque doublon (MI# et SI#) elle possède douze notes, et douze intervalles élémentaires. Les cinq notes complémentaires seraient, sur un piano, produites par les touches noires.

Dans la pratique, on s'arrangerait pour reporter la quinte du loup dans un intervalle peu pratiqué, le plus souvent MIb - SOL#.

La gamme pythagoricienne a pour principaux inconvénients :

De ce fait, elle n'est pratiquement pas utilisée de nos jours.

Pour un exposé complet, voir : Construction de la Gamme pythagoricienne

Les gammes naturelles (Zarlino, etc.)

Une gamme est dite naturelle lorsque les sons qui la composent (dans un intervalle d'octave) sont des harmoniques simples de la note tonique. Cette définition est suffisamment vague pour permettre des variantes, mais elles ont en commun de faire jouer un rà´le important à  l'intervalle de tierce majeure.

L'harmonique le plus simple, la quinte (intervalle DO - SOL, rapport de fréquences = 3/2) est la base de la gamme de Pythagore qui est très ancienne et probablement à  l'origine de notre division de l'octave en sept notes : DO – RE – MI – FA – SOL – LA – SI.

La quinte a pour intervalle complémentaire la quarte (intervalle SOL – DO ou DO – FA, rapport de fréquences = 4/3). L'octave, la quinte et la quarte ont des rapports de fréquence qui sont tous de la forme (n+1)/n - n étant un nombre entier.

L'intervalle qui sépare la quarte et la quinte est le ton ou seconde majeure (intervalle FA - SOL ou DO - RE, rapport de fréquences = 9/8) : il est de la même forme (n+1)/n.

Mais la méthode de Pythagore produit un intervalle de tierce qui sonne relativement faux (rapport de fréquences 81/64), d'o๠l'idée de lui substituer un intervalle de la forme (n+1)/n qui en soit très proche, soit 5/4. La différence entre ces deux intervalles est le comma syntonique.

Partant de cette nouvelle tierce majeure, on en déduit directement :

Nous avons ainsi déterminé les sept notes de la gamme diatonique.

Les gammes naturelles; tout comme celle de Pythagore, ont des inconvénients importants en matière de transposition et de modulation : de ce fait elles ne sont pas utilisées dans la pratique.

Pour un exposé complet, voir : Construction des gammes naturelles

Les tempéraments mésotoniques

La gamme pythagoricienne, fondée sur des intervalles de quinte justes présente plusieurs défauts :

L'idée des tempéraments mésotoniques va être de diminuer toutes les quintes d'une certaine fraction du comma syntonique de façon à  rendre plus justes les tierces majeures résultantes sans pour autant trop fausser les quintes (l'écart résiduel venant du comma pythagoricien reste toujours concentré sur la quinte du loup, qui peut devenir encore plus fausse).

Puisque la correction s'applique uniformément à  toutes les quintes, les tierces majeures engendrées restent toujours égales à  deux tons majeurs (les proportions sont conservées) ce qui n'est pas le cas avec les tempéraments inégaux. C'est cette propriété du « ton moyen Â» qui est à  l'origine du terme « mésotonique Â».

Lors de la construction de la gamme pythagoricienne, on obtient la première tierce majeur (DO-MI) par quatre montées successives de quintes : DO-SOL, puis SOL-RE, puis RE-LA, enfin LA-MI. Si donc on veut un tempérament mésotonique à  tierce majeure pure, il suffit de diviser le comma syntonique en 4, c'est-à -dire corriger la fraction 3/2 (la quinte) du coefficient (34/(5 x 24).)1/4 ou 3 / (2 x 51/4).

Le tempérament mésotonique à  quart de comma syntonique est le plus utilisé. S'il rend les tierces justes, il fausse légèrement les quintes - ainsi d'ailleurs que les quartes, et ceci n'est pas indifférent car l'oreille est plus sensible à  la justesse des quintes qu'à  celle des tierces.

D'autres tempéraments mésotoniques présentent un meilleur compromis en répartissant la « fausseté Â» de façon plus équilibrée entre tierces et quintes : c'est le cas du tempérament à  1/8 de comma.

Les tempéraments mésotoniques sont assez pratiqués dans la musique baroque, ils permettent des modulations acceptables dans les tons voisins de la tonique.

Les tempéraments inégaux

L'idée des tempéraments inégaux vient du fait que, dans la pratique musicale, et spécialement à  l'époque baroque avant que ne se généralise l'emploi de la gamme tempérée, tous les intervalles de quinte et de tierce majeure ne sont pas également usités.

On va donc essayer de réduire les effets indésirables du comma syntonique, voire du comma pythagoricien en les divisant de telle manière qu'on améliore la qualité de certains intervalles de quintes (donc de tierces), les intervalles les moins pratiqués pouvant se satisfaire de consonances moins bonnes.

Les possibilités sont extrêmement nombreuses et cette étude a mobilisé un grand nombre de théoriciens aux XVIIe et XVIIIe siècles, chacun proposant sa propre solution censée représenter le meilleur compromis : Werkmeister, Chaumont, Kirnberger, Rameau, Vallotti etc Â…

Dans le cadre d'un tempérament inégal, toutes les quintes (et conséquemment toutes les tierces) n'ont pas la même valeur en termes de rapports de fréquences : chaque tonalité possédait donc une « couleur sonore Â» particulière. Joie, tristesse, sérénité, mélancolie, etc Â… s'expriment dans le choix de tonalités censées mieux les représenter : ce critère est mis en pratique par les grands compositeurs tels que Bach et Couperin qui y attachent beaucoup d'importance. Le choix du tempérament utilisé peut, à  l'inverse, être déterminé par la tonalité choisie et les modulations envisagées au cours d'une même pièce, certains étant mieux appropriés que d'autres.

Ces préoccupations ont complètement disparu depuis que la gamme tempérée a été adoptée de façon universelle par les compositeurs. Mais les tempéraments inégaux sont particulièrement adaptés à  l'exécution du répertoire baroque, et les ensembles spécialisés les pratiquent couramment.

La gamme tempérée

La gamme tempérée est de nos jours utilisée de façon presque universelle dans la musique occidentale. Seules les Å“uvres antérieures (environ) à  1750 sont exécutées de nos jours dans d'autres systèmes, selon les habitudes en cours à  l'époque de leur composition.

La gamme tempérée consiste, pour ainsi dire, à  Â« trancher le nÅ“ud gordien Â» des inconvénients de tous les autres systèmes qui tentaient des compromis entre justesse de certains intervalles, fausseté pas trop marquée des autres, possibilités de transposition et/ou de modulation. Elle consiste tout simplement à  diviser l'octave en douze intervalles chromatiques tous égaux.

Cette idée simple permet toutes les transpositions et toutes les modulations imaginables, puisque toutes les notes sont équivalentes quand on les considère comme toniques. Elle présente un seul inconvénient, mais qui est de taille et qui explique la réticence des musiciens à  l'adopter avant la période dite « classique Â» : à  l'exception des octaves, tous les intervalles sont plus ou moins faux. Toutefois, les écarts sont suffisamment faibles pour être admissibles. Et l'habitude aidant, puisque de nos jours quasiment toutes les musiques que nous entendons l'utilisent, cette faible dissonance ne choque personne, et c'est au contraire les anciens tempéraments qui surprennent notre oreille lorsque nous les expérimentons pour la première fois.

Les deux recueils de Jean-Sébastien Bach intitulés "Das wohltemperierte Klavier" ont certainement été composés pour démontrer ces possibilités de jouer dans tous les tons majeurs et mineurs, sans modifier l'accord de l'instrument.

En fait, depuis longtemps, les instruments à  cordes et à  frettes, tels que guitares, luths, théorbes, violes ont dà» être accordés selon la gamme tempérée car les rapports d'intervalles sont communs à  plusieurs cordes accordées sur des notes différentes.

Si l'on se rappelle qu'additionner des intervalles revient à  effectuer des multiplications de rapports de fréquence, on voit que l'octave égale le demi-ton chromatique élevé à  la puissance douze ou encore que le demi-ton chromatique vaut 21/12.

La gamme tempérée est, de toutes, la plus difficile à  accorder : contrairement aux autres systèmes ou l'instrumentiste doit établir de façon précise des consonances (auxquelles l'ouà¯e est très sensible), pour accorder un instrument en tempérament égal il doit établir des dissonances toutes égales à  l'intérieur d'une octave, ce qui s'apprécie par la faculté à  compter des « battements Â» par seconde. Cette technique est hors de portée pratique de l'amateur : le tempérament égal est à  l'origine du métier d'accordeur de pianos. Avec un peu de pratique, l'amateur possesseur d'un clavecin peut assez facilement accorder son instrument selon un des tempéraments légués par le XVIIIe siècle.

Tableau comparatif

Fréquences des notes dans 3 systèmes, La="440" Hz

Note Gamme naturelle Gamme de Pythagore Gamme tempérée

DO 264,00 260,74 261,63
DO# 275,00 278,44 277,18
RE 297,00 293,33 293,66
MI b 316,80 309,03 311,13
MI 330,00 330,00 329,63
FA 352,00 347,65 349,23
FA# 371,25 371,25 369,99
SOL 396,00 391,11 392,00
SOL# 412,50 417,66 415,30
LA 440,00 440,00 440,00
SI b 475,20 463,54 466,16
SI 495,00 495,00 493,88
DO 528,00 521,48 523,25

NB

  1. La gamme de Pythagore est montée de telle façon que la quinte du loup soit entre SOL # et MI b.
  2. La gamme naturelle est montée sur les harmoniques naturels de Do.
La note La est commune à  440 Hz (
diapason actuel)