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Identité de Bezout

L'identité de Bezout est le théorème suivant :

Si a et b sont des entiers relatifs avec comme plus grand commun diviseur d, alors il existe au moins un couple d'entiers relatifs x et y tels que
ax + by = d  (identité de Bezout).

Le théorème de Bezout découle immédiatement de l'identité de Bezout, appliqué au cas d = 1:

Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe au moins un couple d'entiers relatifs x et y tels que
ax + by = 1.

Les entiers x et y ci-dessus peuvent être déterminés par l'algorithme d'Euclide étendu; ils ne sont cependant pas déterminés de manière unique.

Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et nous pouvons écrire

(-3)·12 + 1·42 = 6
et aussi
4·12 + (-1)·42 = 6.

L'identité de Bezout peut s'écrire non seulement dans l'anneau des nombres entiers, mais aussi dans tout autre anneau principal . C'est-à -dire, si A est un anneau principal, et a et b sont des éléments de A, et d est un plus grand diviseur commun de a et b, alors il existe des éléments x et y dans A tels que : ax + by = d.

L'identité de Bezout porte le nom du mathématicien français du XVIIIe siècle Étienne Bézout. La disparition de l'accent provient vraisemblablement du souci des enseignants en lycée d'éviter tout jeu de mots scabreux.

Cependant de nombreuses sources concordantes tendent à  attribuer cette découverte au mathématicien français Claude-Gaspard Bachet de Méziriac.