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Logique (mathématiques)

Sommaire
1 Les opérations logiques élémentaires
2 Axiomes et théorèmes
3 Le calcul des prédicats
4 Vers la théorie des ensembles
5 Voir aussi

Les opérations logiques élémentaires

Les propositions et les objets mathématiques, sont des assemblages de symboles et de lettres formés en suivant certaines règles de logique. Les deux signes les plus simples qui servent à  former des propositions sont ∨ et ¬ souvent notés ou et non en mathématiques.

La disjonction

La disjonction de deux proposition P et Q est la proposition notée P ∨ Q ou « P ou Q Â» qui est vraie si l’une au moins des deux propositions est vraie, et fausse si les deux propositions sont fausses.

La négation

La négation d’une proposition P, est la proposition notée ¬P, ou « non P Â» qui est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.

à€ partir de ces deux signes, nous pouvons construire d’autres symboles ou abréviations utiles :

La conjonction

Le conjonction de deux propositions P et Q est la proposition suivante :
¬((¬P) ∨ (¬Q)) c'est-à -dire non ( (non P) ou (non Q) )
Celle-ci est notée P ∧ Q ou « P et Q Â» et n’est vraie que lorsque P et Q sont vraies et fausse si l’une des deux propositions est fausse.

L'implication

L'
implication de Q par P, est la proposition (¬P) ∨ Q, notée « P ⇒ Q Â» ou « P implique Q Â», et qui est fausse seulement si P est une proposition vraie et Q fausse.

L'équivalence

L'équivalence logique de P et Q est la proposition ( (P ⇒ Q) ∧ ( Q ⇒ P) ) ( ((P implique Q) et (Q implique P) )) , notée « P ⇔ Q Â» ou (P est équivalant à  Q).

Axiomes et théorèmes

Par assemblage, des symboles ou lettres introduites précédemment nous pouvons construire des propositions plus complexes, des assertions vraies ou des théorèmes ; et ainsi développer des théories. Mais nous devons au départ énoncer des propositions qui seront considérées, une fois pour toute, comme vraies et fixer des règles de transformation, permettant d’obtenir des propositions à  partir d’autres. Ces propositions et règles de logique sont les
axiomes. Toute proposition obtenue à  partir d’un axiome ou d’une proposition vraie au moyen d’une implication sera considérée comme vraie.

Le calcul des prédicats

Substitution

Il est également possible de construire à  partir d’une proposition P, d’autres propositions en remplaçant un objet mathématique indéterminé x dans la proposition partout o๠il intervient, par un autre objet mathématique a.

Par exemple, la proposition P : « 8 est un nombre pair Â», peut être représentée sous la forme P{8}, o๠P est le prédicat « est un nombre pair Â», et 8 est son argument.
Ou par exemple, la proposition « Les droites D et D’ sont parallèles Â» peut être représentée sous la forme P{D, D’} o๠P est le prédicat « sont parallèles Â» et les droites D et D’ sont les arguments.

Si P est une proposition, x un objet indéterminé, et a un objet mathématique, l’assemblage obtenu en remplaçant x par a dans P est encore une proposition notée

(a|x)P
et s’appelle proposition obtenue par substitution de x par a dans P.

Pour mettre en évidence un objet indéterminé x dans une proposition P, on écrit la proposition sous la forme P{x} ; et on note P{a} la proposition (a|x)P.

Soit P une proposition, x un objet indéterminé, et a un objet mathématique donné. Si P est vraie, alors P{a} est vraie.

Et tout cela se généralise au cas de plusieurs objets indéterminés.

Les quantificateurs

Il existe encore un autre procédé logique, permettant de construire d’autres propositions à  partir d’une proposition.

Soit une proposition P et x un objet indéterminé. Nous pouvons considérer la proposition :

il existe un objet a, tel que (a|x)P soit vraie
c'est à  dire
il existe un objet a, tel que P{a} soit vraie
« il existe un objet Â» signifie intuitivement « nous pouvons trouver au moins un objet Â».

Symboliquement, nous écrivons :

∃ a P
ou
∃ a P{a}
ce qui se lit :
« il existe a tel que P Â»

Ce signe ∃ s’appelle le quantificateur existenciel.

Nous définissons, à  partir de ∃ le symbole ∀ :

Soit P une proposition et x un objet indéterminé, la proposition notée ∀ x P est la proposition

¬( ∃x ¬P )
et se lit « pour tout x, P Â»
ou « quel que soit x, on a P vraie Â»

∀ s’appelle le quantificateur universel.

Évidemment, la proposition (∀ x P) est fausse si et seulement si (∃ x ¬ P) est vraie.

Utilisation des quantificateurs

Propriétés élémentaires

Soient P et Q deux propositions et x un objet indéterminé.

Propriétés utiles

Soient P une proposition et x un objet indéterminé.

La dernière implication dit que s’il existe un x, tel que pour tout y, on ait P vraie, alors pour tout y, il existe bien un x\ (celui obtenu avant) tel que P soit vraie.

Intuitivement, l’implication réciproque est fausse en général, parce que si pour chaque y, il existe un x tel que P soit vraie, ce x pourrait dépendre de y et varier suivant y. Ce x pourrait donc ne pas être le même pour tout y tel que P soit vraie.

Vers la théorie des ensembles

La théorie des ensembles est à  la base de nombreuses théories mathématiques. Outre les symboles de logique énumérés précédemment, cette théorie utilise des autres symboles = et ∈ permettant de mettre des objets mathématiques en relation. Les objets mathématiques sont appelés des ensembles.

L’égalité

Le signe de l’égalité se note
=
et représente la relation d’égalité entre objets mathématiques.

Nous nous contenterons de la définition intuitive :

Soient a et b deux objets. a=b signifie que a et b représentent des objets identiques, et se lit « a est égal à  b Â»

≠ est définie par a ≠ b si ¬(a=b)

Propriétés :

L’appartenance

Le signe de l’appartenance se note :
∈
et représente la relation d’appartenance d’un objet à  un autre.

Si a et b sont deux objets a ∈ b se lit :

« a appartient à  b Â»
ou encore
« a est élément de b Â»
∉ se définit par a ∉ b si ¬(a ∈ b) vraie.

a ∉ b se lit « a n’appartient pas à  b Â»

Théorème :

Soient a et b deux objets mathématiques.

a=b ⇔ ( (∀x) (x ∈ a ⇔ x ∈ b) )

Pour les régles d'utilisation de ces symboles reportez vous à  l'article
langage formel mathématique.

Voir aussi