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Problèmes de Hilbert

Lors du second congrès de mathématiques, tenu à  Paris en 1900, David Hilbert présenta une liste de 23 problèmes qui tenaient jusqu'alors les mathématiciens en échec. Ces problèmes devaient, selon Hilbert, marquer le cours des mathématiques du XXe siècle, et l'on peut dire aujourd'hui que cela a été grandement le cas.

Voici la liste de ces problèmes :

    1. Prouver l'hypothèse du continu de Cantor.
      Paul Cohen, en se basant sur les travaux de Gà¶del, montra en 1963 que cette conjecture était indécidable.
    2. Prouver que l'ensemble des nombres réel peut être bien ordonné.
      Ernst Zermelo prouva que l'existence de ce bon ordre est équivalent à  l'axiome du choix de Zermelo. Ainsi, le prouver revient à  accepter cet axiome, ce que nombre de mathématiciens refusèrent.
    Alors que Hilbert pensait que ces deux problèmes étaient liés, Cohen montra qu'ils étaient indépendants en montrant que l'hypothèse du continu de Cantor était indécidable.

  1. Les axiomes de l'arithmétique sont ils consistants ?
    Gà¶del montra en 1931 que non, via son théorème d'incomplétude.

  2. Peut-on appliquer la méthode de décomposition en polyèdres utilisée par Euclide pour le calcul de n'importe quel volume ?
    Dehn, élève de Hilbert, montra que non, en démontrant qu'il était impossible de diviser un cube et un tétraèdre régulier de même volume en un nombre fini de polyèdres deux à  deux identiques.

  3. Définir toutes les géométries dont la plus courte distance entre deux points est un segment de droite.
    La géométrie différentielle a permis de répondre en partie à  ce problème, bien que l'on ne peut pas à  proprement parler de réponse ferme.

  4. Trouver des groupes de Lie continus.

  5. L'axiomatisation, basée sur le modèle mathématique, de la physique.
    Du fait de l'apparition de la théorie de la relativité et de la mécanique quantique, le problème fut vite obsolète. Malgré tout, on peut noter que la physique théorique et les mathématiques ne cessent de se rapprocher.

  6. Démontrer la transcendance des nombres , avec algébrique et irrationnel (par exemple Les travaux de Gelfond, complétés par Schneider et Baker, ont permis de résoudre en partie ce problème.

  7. Démontrer l'hypothèse de Riemann. Ce problème n'est toujours pas résolu aujourd'hui, malgré les progrès faits notamment par Deligne qui démontra les conjectures de Weil, et reçut pour cela la médaille Fields en 1978, on est encore loin d'avoir résolu ce problème, qui s'annonce comme celui du XXIe siècle.

  8. Etablir une loi de réciprocité dans les corps de nombres algébriques. Résolu par Artin.

  9. Trouver un algorithme déterminant si une équation diophantienne a des solutions.
    Yuri Matijasevic à  établit en 1970 qu'un tel algorithme ne pouvait exister.

  10. Classifier les formes quadratiques à  coefficient dans les anneaux d'entiers algébriques.
    Résolu par Siegel.

  11. Prolonger le théorème de Kroneker sur les corps non-abéliens. (?)

  12. Montrer l'impossibilité de résoudre les équations du 7ème degré au moyen de fonctions de seulement deux variables.
    Démontré par Kolmogorov et son élève Vladimir Arnold en 1954.

  13. Prouver le caractère fini de certains systèmes intégral des fonctions.(?)
    Nagata donna en 1959 un contre-exemple qui montra la fausseté de la conjecture.

  14. Mettre en place les bases du calcul énumératif de Schubert.
    Résolu par Van der Waerden en 1930

  15. Développer une topologie des courbes et des surfaces algébriques.

  16. Montrer qu'une fonction rationnelle positive peut s'écrire sous la forme de somme de carrés de fonctions rationnelles.
    Résolu par Artin en 1927.

  17. Construire un espace euclidien avec des polyèdres congruents.
    Résolu par Bieberbach en 1910

  18. Prouver que le calcul des variations est toujours nécessairement analytique
    Résolu par Bernstein et Tibor Rado en 1929

  19. Etudier la solution générale des problèmes de valeur limite.

  20. Prouver que toute représentation complexe de dimension finie peut s'obtenir par action de monodromie sur une équation différentielle de Fusch.
    Résolu par Helmut Rà¶rl en 1957

  21. Uniformiser des courbes analytiques au moyen de fonctions automorphes.
    Résolu par Koebe et Henri Poincaré en 1907.

  22. Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations.