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Relativité générale

      

La relativité générale est une théorie de la gravitation publiée par Albert Einstein en 1915. Selon cette théorie, la force de gravitation est la manifestation d'une déformation locale de la géométrie de l'espace-temps.

La description géométrique de la théorie physique due à  Einstein trouve ses origines dans les avancées de la géométrie non-euclidienne, qui remontent aux différentes tentatives aux cours des siècles de démontrer le cinquième postulat d'Euclide, énonçant que par un point on ne peut mener qu'une parallèle à  une droite donnée. Ces efforts culminèrent au XIXe siècle avec la réalisation par les mathématiciens Nicola௠Ivanovitch Lobatchevsky, Jà¡nos Bolyai et Carl Friedrich Gauss que ce postulat pouvait sans inconvénient être remplacé par un différent (plusieurs parallèles possibles, ou pas de parallèle du tout), et ne constituait donc en fait qu'un axiome arbitraire. Aucune de ces géométries n'était plus "vraie" que les autres : il s'agissait simplement d'outils conceptuels différents pouvant servir de support à  des usages également différents. La surface d'une sphère, par exemple, peut indifféremment être considérée comme la surface d'un objet euclidien à  3 dimension ou comme un espace non-euclidien particulier à  deux dimensions, la seconde représentation pouvant s'avérer plus commode dans certains cas.

La généralisation de ces résultats, dénommée géométrie non-euclidienne, fut réalisée par Bernhard Riemann, un élève de Gauss, mais elle fut considérée comme simple curiosité mathématique jusqu'à  ce qu'Einstein utilise les travaux de son professeur Hermann Minkowski (qui utilisait des nombres complexes pour obtenir des espaces non-euclidiens faciles à  traiter en géométrie analytique... et exprima en 1907 dans cette description la transformation de Lorenz !) pour développer sa théorie de la relativité générale.

La théorie de la relativité restreinte (1905) modifiait les équations utilisées pour comparer les mesures de longueur et de durée faites dans différents référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres : cela eut pour conséquence que la physique ne pouvait plus traiter le temps et l'espace séparément, mais seulement comme un espace à  quatre dimensions, l' espace-temps. En effet, lors de mouvements à  des vitesses non négligeables devant c, temps et espace s'altèrent de façon liée, tout comme deux coordonnées d'un point en géométrie analytique s'altèrent de façon liée lorsqu'on pivote les axes du repère.

La relativité générale ajouta à  cette vision que la présence de matière pouvait déformer localement l'espace-temps lui-même (et non pas juste les trajectoires), de telle manière que des trajectoires dites "droites" - en tout cas de longueur minimale - à  travers l'espace-temps ont des propriétés de courbure dans l'espace et le temps.

Contrairement à  l'espace-temps à  quatre dimensions euclidiennes imaginé par le romancier H.G. Wells, cet espace-temps de Minkowski n'est pas euclidien. En effet, une de ses composantes (le temps) doit être affectée dans les calculs de distance du coefficent j (le "i" des mathématiciens) défini (au signe près) par l'équation j² = -1. La distance la plus courte entre deux points distincts de cet espace-temps, (dont la carré est x²+y²+z²-ct²), peut donc fort bien être nulle - c'est d'ailleurs le cas pour les points de départ et d'arrivée d'un rayon lumineux. Cela illustre le cà´té non-euclidien de cet espace.



Le 29 mai 1919, les mesures de la déviation des positions apparentes d'étoiles par Sir Arthur Eddington lors d'une éclipse solaire, malgré quelques imprécisions de mesure, constituèrent la première confirmation de la théorie.

De très nombreuses expériences ont été réalisées depuis et tous les résultats obtenus sont en accord avec la théorie.

On peut citer par exemple une expérience menée par Pound et Rebka à  l'université de Harvard (1959), qui a permis de détecter un changement de 22,5 m de la longueur d'onde d'une source monochromatique de Cobalt.

Autre conséquence pratique de la relativité générale : les horloges atomiques en orbite autour de la Terre du système de positionnement GPS (Global Positioning System) nécessitent une correction pour le ralentissement dà» à  l'effet de la gravité terrestre.

(En ce qui concerne la Relativité restreinte, l'étude des trajectoires de particules dans des chambres de Wilson montre que celles-ci, lorsqu'elles sont en déplacement rapide, ont bien une durée de vie allongée de ce que prévoit la Relativité : la longueur de leur parcours, lorsqu'on connaît leur vitesse, en témoigne).

Sommaire
1 Fondements de la relativité restreinte
2 Résumé de la théorie
3 Métrique de Schwarzschild
4 Voir aussi
5 Pour en savoir plus

Fondements de la relativité restreinte

Cette section rappelle les résultats expérimentaux et les avancées mathématiques qui menèrent à  la formulation de la théorie de la relativité générale, et donne aussi un aperçu de la théorie de la relativité restreinte.

Gauss a réalisé qu'on pouvait imaginer d'autres géométries que la géométrie euclidienne. Si l'univers se caractérise par une telle géométrie, qu'un physicien tient un bà¢ton verticalement, et qu'à  une certaine distance, un cartographe mesure sa longueur par une technique de triangulation basée sur la géométrie euclidienne, rien ne garantit qu'il obtiendra le même résultat si le physicien lui apporte le bà¢ton et qu'il le mesure directement. Bien entendu, dans la pratique, la différence serait si insignifiante qu'il serait impossible de la remarquer à  l'aide d'instruments de mesure traditionnels, mais des expériences équivalentes ont été réalisées qui ont permis de détecter le caractère non euclidien de l'espace-temps.

Dans sa mécanique, Isaac Newton présupposait que les corps étaient dotés d'une vitesse absolue, autrement dit qu'ils étaient soit "réellement" au repos, soit "réellement" en mouvement. Il remarqua aussi que ces vitesses absolues étaient non mesurables autrement que relativement aux vitesses des autres corps (de la même manière, la position d'un corps n'était mesurable que relativement à  celle d'un autre corps, etc). En conséquence toutes les lois de la mécanique newtonienne devaient opérer à  l'identique quel que soit le corps considéré et quel que soit son mouvement.

Cependant, Newton pensait que sa théorie ne pouvait avoir de sens sans l'existence d'un référentiel fixe absolu dans lequel la vitesse de tout corps pourrait être mesurée, même si celui-ci ne pouvait être détecté. En fait, il est possible en pratique de bà¢tir une mécanique newtonienne sans cette hypothèse : la théorie résultante (nommée d'ailleurs relativité galiléenne n'a d'ailleurs pas d'intérêt opérationnel particulier et ne doit pas être confondue avec la relativité einsteinienne, qui implique en plus la constance de la vitesse de la lumière dans tous les référentiels et en moins l'hypothèse galiléenne que les vitesses relatives s'additionnent (ces deux axiomes sont en effet mutuellement incompatibles).

Au XIXe siècle, le mathématicien irlandais James Clerk Maxwell formula un ensemble d'équations, les équations du champ électromagnétique, qui démontraient que la lumière devait se comporter comme une onde du champ électromagnétique qui se propage à  vitesse constante dans l'espace, et ce quel que soit le référentiel considéré. Cela pouvait donner un moyen de contourner la relativité newtonienne : en comparant notre propre vitesse à  la vitesse de la lumière, nous pourrions mesurer notre propre vitesse absolue, ou, ce qui revient pratiquement au même, notre vitesse relativement à  un référentiel identique pour tous les observateurs.

La supposition était que, quel que soit le milieu que traversaient les ondes lumineuses, autrement dit quel que soit le médium dont les ondes lumineuses étaient "faites", ce milieu pouvait servir de cadre rigide par rapport auquel toute mesure pourrait être réalisée.

Cela mena à  chercher à  déterminer la vitesse de la Terre dans cette sorte d'"océan cosmique" dénommé "Éther". Puisque la Terre effectuait une rotation annuelle dans l'Éther, la vitesse de la lumière mesurée à  la surface de la Terre devait apparaitre accrue lorsque la Terre se déplaçait à  l'encontre de l'Éther, et diminuée 6 mois plus tard, lorsque la Terre allait dans le même sens que l'Éther.

Cette mesure de vitesse devait donc montrer une période d'un an.

Malheureusement, une expérience d'interférométrie menée par Michelson et Morley ne permit de détecter aucune variation sensible, et ce quelle que soit la période de l'année.

Ce résultat devait mener à  la conclusion étonnante que la vitesse de la lumière était constante dans toutes les directions. Cette conclusion menait à  une impasse : l'Éther n'existait pas, ou (non exclusif !) la loi d'addition des vitesses était fausse.

En postulant la constance de la vitesse de la lumière dans tous les référentiels, et en adoptant une nouvelle loi d'addition des vitesses, les transformations de Lorentz, Einstein put en 1905 synthétiser ces résultats et en déterminer les conséquences révolutionnaires, — notamment l'équivalence de la masse et de l'énergie — dans un article resté célèbre : De l'électrodynamique des corps en mouvement.

Résumé de la théorie

Référentiels

L'idée centrale de la relativité est que l'on ne peut pas parler de quantités telles que la vitesse ou l'accélération sans avoir auparavant choisi un cadre de référence, un référentiel, défini en un point donné. Tout mouvement est alors décrit relativement à  ce référentiel. La relativité restreinte postule que ce référentiel peut être étendu indéfiniment dans l'espace et dans le temps. Elle ne traite que le cas des référentiels dits inertiels, autrement dits animés d'une vitesse constante et sans changement de direction. La relativité générale, elle, traite les référentiels accélérés (au sens vectoriel) ou non. En relativité générale, il est admis que l'on ne peut définir un référentiel local avec une précision donnée que sur une période finie et dans une région finie de l'espace (de la même manière, à  cause de la courbure de la surface terrestre, on ne peut dessiner une carte sans distorsion que sur une région limitée). En relativité générale, les lois de Newton ne sont que des approximations valables dans un référentiel local inertiel. En particulier, la trajectoire de particules libres comme des photons est une ligne droite dans un référentiel local inertiel. Dès que ces lignes sont étendues au-delà  de ce référentiel local, elles n'apparaissent plus droites, mais sont connues sous le nom de géodésiques. La première loi de Newton doit être remplacée par la loi du mouvement géodésique.

Revenons sur la notion de référentiel inertiel. Nous distinguons les référentiels inertiels, dans lesquels un corps libre de toute action extérieure maintient un mouvement uniforme, des référentiels non-inertiels, dans lesquels un corps libre subit une accélération dont l'origine est due à  l'accélération du référentiel lui-même. Un exemple en est la force centrifuge que l'on ressent losque un véhicule qui nous transporte effectue un rapide changement de direction, un autre exemple en est la force dite de Coriolis, manifestation de la rotation terrestre. La force centrifuge est une manifestation de la loi de conservation de la quantité de mouvement .

Principe d'équivalence

Parce qu'il n'a jamais été possible de mettre en évidence le moindre écart entre la masse d'inertie (résistance d'un corps à  l'accélération) et la 'masse pesante (qui détermine son comportement dans un champ de gravité), le principe d'équivalence en relativité générale postule qu'il n'y a pas lieu de distinguer localement''' un mouvement de chute libre (sans rotation) dans un champ gravitationnel, d'un mouvement uniforme (donc non accéléré) en l'absence de champ gravitationnel. En clair, on n'observe pas localement de gravitation dans un référentiel en chute libre. Autour de la Terre, la chute libre peut être par exemple une chute vers le sol ou bien le mouvement d'un satellite.

Ce résultat n'est que local, c'est à  dire valable en un point. Dans un volume et avec des accéléromètres sensibles, on distinguera au contraire très bien un champ de gravité (forces concourantes), une simple accélération (forces parallèles) et un effet centrifuge (forces divergentes). Il s'agit juste d'unifier ce qui est semblable dans les phénomènes afin de les traiter par un mécanisme unique.

Cette équivalence est utilisée dans l'entraînement des astronautes : ceux-ci montent dans des avions effectuant un vol parabolique o๠la force centrifuge contrebalance quelques secondes les forces de gravité, simulant ainsi la "chute libre" d'un corps satellisé (chute libre qui dure indéfiniment, puisque circulaire).

Dans cette perspective, la gravitation observée à  la surface terrestre est la force observée dans un référentiel défini en un point de la surface terrestre qui n'est pas libre, mais sur lequel agit toute la roche qui constitue le noyau, et cette force est de nature identique à  la force centrifuge qui serait ressentie dans un vaisseau spatial suffisamment éloigné de la Terre pour ne plus guère subir son attraction, et effectuant une manoeuvre de changement de direction. Ou encore, le sol empêche un objet de faire sa chute libre en exerçant une force vers le haut (appelée "réaction du sol") ; en mécanique newtonienne, on a plutà´t tendance à  considérer que la chute libre est une accélération vers le bas, alors qu'ici, la chute libre est l'état de référence et c'est l'état de repos par rapport au sol qui est une accélération vers le haut.

Le principe d'équivalence revient à  considérer, pour résumer, que la masse inertielle et la masse gravitationnelle représentent une seule et même chose.

Tenseur d'énergie et courbure de l'espace

Mathématiquement parlant, Einstein modélise l'espace-temps par une variété pseudo-riemannienne quadri-dimensionnelle, et son équation du champ gravitationnel relie la courbure de la variété en un point, au tenseur d'énergie en ce point, ce tenseur étant une mesure de la densité de matière et d'énergie (étant entendu que matière et énergie sont équivalentes). Cette équation est à  la base de la fameuse formule qui dit que la courbure de l'espace définit le mouvement de la matière, et la matière définit la courbure de l'espace. La meilleure façon de se représenter ce concept est d'imaginer que l'espace-temps comme une surface élastique creusée localement par la présence d'un objet massif, une boule par exemple. La masse de la boule déforme la surface élastique.

Le chemin le plus court entre deux points - ce qui reste la définition de la "ligne droite" - ne sera alors pas le même qu'en l'absence de déformation : si la trajectoire passe trop près de la bille, en effet, le parcours est allongé par le creusement de la feuille de caoutchouc. Remarquons que nous n'avons à  prendre en entrée dans cette analogie ni le temps ni la gravité, ce qui est normal puisque c'est eux que nous désirons décrire en sortie.

En transposant cette image dans l'espace physique, la présence d'un corps massif affectera la courbure de l'espace, ce qui semblera vu de l'extérieur altérer la course d'un rayon lumineux ou d'un objet en mouvement qui passe dans son voisinage. Pour reprendre une expression célèbre citée par Richard Feynman : "La masse dit à  l'espace-temps comment se courber, et la courbure de l'espace-temps dit à  la matière comment se comporter".

Cela a pour conséquence en astronomie l'effet de mirage gravitationnel (parfois nommé lentille gravitationnelle à  tort, car n'ayant ni le propriétés ni d'une lentille convergente - ce que l'on voit immédiatement si l'on trace plus de quatre rayons ! - ni celles d'une lentille divergente).

L'équation du champ d'Einstein n'est pas une solution unique et il y a de la place pour d'autres modèles, s'ils sont en accord avec les observations.

La relativité générale se distingue des autres théories existantes par la simplicité du couplage entre matière et courbure géométrique, mais il reste à  réaliser l'unification entre la relativité générale et la mécanique quantique, et le remplacement de l'équation du champ gravitationnel par une loi quantique plus générale. Peu de physiciens doutent qu'une telle Théorie de Tout donnerait lieu aux équations de la relativité générale dans certaines limites d'application, de la même manière que cette dernière permet de prédire les lois de la gravitation de Newton dans les limites des faibles vitesses (dites vitesses non relativistes).

L'équation du champ contient un paramètre appelé la constante cosmologique qui a été introduite à  l'origine par Einstein pour permettre un univers statique (c'est-à -dire un univers qui n'est ni en expansion, ni en contraction). Cet effort se solda par un échec pour deux raisons : l'univers statique décrit par cette théorie était instable, et les observations de l'astronome Edwin Hubble dix ans plus tard démontrèrent que l'Univers était en fait en expansion. Donc Λ fut abandonnée, mais récemment, des techniques astronomiques ont montré qu'une valeur non nulle de Λ est nécessaire pour expliquer certaines observations.

L'équation du champ gravitationnel est :

o๠est le tenseur de Ricci, que l'on obtient par contraction du tenseur de courbure, est le scalaire de courbure, est le tenseur métrique, est la constante cosmologique, est le tenseur d'énergie, est la célérité de la lumière dans le vide, et est la constante gravitationnelle qui apparaît aussi dans la loi de la gravitation newtonienne.
décrit la métrique de la variété et est un tenseur symétrique. 
Étant donné que les quatre degrés de liberté sont les quatre coordonnées d'espace-temps, les équations indépendantes se réduisent à  six.

L'étude des solutions de cette équation est une branche de la Physique nommée cosmologie. Elle permet notamment d'expliquer l'avance du périhélie de la planète Mercure, de prédire l'existence des trous noirs, des ondes gravitationnelles et d'étudier les différents scénarios d'évolution de l'Univers.

Métrique de Schwarzschild

Nous pouvons obtenir les équations de la relativité générale dans le vide en résolvant l'équation :
On obtient la métrique de Schwarzschild :

Voir aussi

Pour en savoir plus

En Français :

En anglais :