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Relativité restreinte

       

Domaine : Physique

Sommaire
1 Origine de la théorie
2 Les postulats de base d'Einstein
3 Les transformations de Lorentz
4 Calculs relativistes
5 Essai pour établir les transformations de Lorentz
6 Conséquences
7 Petites expériences de pensée
8 Équations de la Mécanique relativiste
9 Pourquoi n'y a-t-il pas eu de Nobel pour la Relativité ?
10 Pour l'anecdote
11 Voir aussi
12 Liens externes

Origine de la théorie

La théorie de la relativité restreinte a été formulée pour la première fois par Albert Einstein en 1905, dans son article intitulé De l'électrodynamique des corps en mouvement..

"Despite Lorentz's caution the special theory of relativity was quickly accepted. In 1912 Lorentz and Einstein were jointly proposed for a Nobel prize for their work on special relativity. The recommendation is by Wien, the 1911 winner, and states ... While Lorentz must be considered as the first to have found the mathematical content of the relativity principle, Einstein succeeded in reducing it to a simple principle. One should therefore assess the merits of both investigators as being comparable... Einstein never received a Nobel prize for relativity. The committee was at first cautious and waited for experimental confirmation. By the time such confirmation was available Einstein had moved on to further momentous work."

Cet extrait d'un très bon historique sur la naissance de la relativité montre que si Lorentz avait bien formulé les transformations qui portent son nom, c'est Einstein qui a osé remettre en cause les principes de base de la mécanique classique.

Elle est née de l'observation que l'équation de la propagation d'une onde électromagnétique n'est pas covariante, c'est-à -dire que leur expression n'est pas valable par changement de référentiel selon les transformations de la relativité de Galilée (addition des vitesses). Cette dernière s'exprime ainsi pour deux référentiels et , se déplaçant par rapport à  avec une vitesse constante v et en supposant qu'à  t= 0, t'=0, O et O' se confondent.

En dérivant par rapport au temps:

puis, en dérivant une deuxième fois par rapport au temps :

ce qui s'écrit en vecteurs: l'adition des vitesses et l'invariance de l'accélération:

'''La relation fondamentale de la dynamique F= m γ s'écrit F= m γ lorsqu'on change de référentiel à  la façon de Galilée : les lois de la mécanique classique sont de ce fait dites invariantes avec les transformations de Galilée.''' Le temps est bien sà»r un invariant, on dit aussi qu'il est universel, ou encore absolu t=t' !

Bref, la relation fondamentale de la dynamique est invariante dans les transformations de Galilée.

Noter aussi que, selon Galilée, les vitesses s'ajoutent (V=V'+v) et donc aucune vitesse n'est invariante avec les transformations de Galilée.

Ceci fut expérimentalement contredit par l'expérience de Michelson et a conduit Einstein à  postuler que la vitesse de la lumière est un invariant, et donc à  accepter la transformation dite de Lorentz qui a cette propriété de garder la vitesse de la lumière invariante. Les transformations de Lorentz (ci dessous) gardent invariantes la vitesse de la lumière et les lois de l'électromagnétisme : Autrement dit, les lois de l'électromagnétisme restent inchangées en changeant de référentiel selon Lorentz.

Les transformations de Lorentz doivent remplacer les transformations de Galilée pour exprimer les lois physiques, toutes les lois physiques, lorsque l'on change de référentiel : c'est le choix audacieux fait par Einstein, choix qui s'est avéré juste.

L'expérience d'interférométrie de Michelson et Morley

C'est en essayant d'utiliser la loi d'addition des vitesses (Michelson, puis Michelson et Morley) pour mettre en évidence le mouvement de la Terre par rapport à  l'espace supposé immobile que ces chercheurs ont obtenu un résultat apparemment absurde : la vitesse de la Terre autour du soleil était nulle ! Certains ont essayé d'expliquer ce résultat en parlant d'éther entraîné par la Terre à  la façon d'un bateau qui entraîne l'air contenu dans ses cabines, mais c'est Einstein en utilisant les transformations dites de Lorentz qui eut l'audace de remettre en cause les bases de la mécanique classique : non, les vitesses ne s'additionnent pas, et pour obtenir les règles de composition des vitesses, il suffit d'admettre les transformations de Lorentz comme valides pour toutes les lois de la nature et que celles de Galilée en sont une approximation valable aux faibles vitesses.

Les postulats de base d'Einstein

Ces trois postulats sont apparus ultérieurement comme d'importance différentes. En effet, le premier est métaphysique, alors que les deux autres sont équivalents à  des lois physiques particulières dans un cadre relativiste.

Les transformations de Lorentz

pour changer de référentiel de:

o๠γ n'a rien à  voir avec l'accélération de la mécanique galiléenne mais est un facteur scalaire sans dimension défini par

Les transformations de Lorentz font que les
équations de Maxwell sont invariantes par changement de référentiel et que leur vitesse c dans le vide est la même dans tout référentiel, ce qui à  priori est absurde.

Einstein décida que les lois de l'électromagnétisme étaient correctes et qu'il fallait en tirer la conclusion que les lois de la mécanique classique ne l'étaient pas !

Ce qui l'amena très tà´t à  considérer que la masse n'est qu'une forme de l'énergie.

On démontre que les équations de propagation de l'électromagnétisme sont covariantes par transformation de Lorentz. C'est une des manières standard de dériver cette transformation de Lorentz.

Calculs relativistes

Il vaut mieux en relativité restreinte se fier au calcul et éviter les raisonnements sans calculs :si vous avez des notions d'algèbre voir les calculs relativistes.

Les calculs sont une succession d'équivalences au sens mathématiques qui permettent de développer les conséquences d'un principe pris comme point de départ.

Si les conséquences prévues se révèlent non contredites par la réalité observée et mesurée, la théorie et ses principes se trouvent confortée.

Si apparaissent des faits observés et mesurés que la théorie ne prévoit pas, soit il faut modifier la théorie, soit en préciser les limites.

Si la théorie prédit des effets, il faut chercher à  les observer et à  les mesurer.
Les théories prédictives sont fascinantes puisque elles confirment qu'il y a des lois ou règles qui régissent la sciences : citons les lois de conservation et les constantes universelles.

La relativité restreinte est exemplaire en tant que théorie prédictive en partant de deux principes contredisant les théories passées.

Essai pour établir les transformations de Lorentz

Si on postule que les transformations de Lorentz sont les bonnes, il apparait une vitesse c, constante, qui est celle de toute particule de masse nulle dans tous les référentiels.

Inversement, les calculs qui suivent montrent que, si on postule que la vitesse de la lumière est constante, alors ce sont les transformations de Lorentz qui permettent de passer d'un référentiel à  un autre (en déplacement à  vitesse fixe, sans accélération).
On trouve aussi cette démonstration au paragraphe d'un cours en ligne

au format PDF.

par la cinématique

Considérons 2 référentiels R et R' o๠R' se déplacent sur l'axe des x à  la vitesse v. c désigne la vitesse de la lumière dans le vide.

Un signal lumineux allant vers les x positifs dans le premier train se propage d'après l'équation (x désigne la distance, t désigne le temps) :

ou encore

Dans le second train, de la même façon, on a :

Des événements colocalisés dans l'espace temps, peu importe dans quel train se trouve l'observateur, doivent satisfaire les deux équations en même temps. Il existe donc une constante λ telle que :
(x' - ct') = λ (x - ct)

(ceci revient à  écrire 0= λ 0 )

De même si l'on considère un signal lumineux allant dans l'autre sens, on obtiendrait une relation équivalente, avec une autre constante, soit :

(x' + ct') = μ (x + ct)

Si l'on prend a = (λ+μ)/2 et b = (λ-μ)/2, on obtient le système suivant :

L'origine de notre repère dans le second train se trouve à  l'endroit o๠x' = 0. On en déduit que :

Et que donc la vitesse v à  laquelle se déplace le second train par rapport au premier est :

On obtiendrait le même résultat en calculant la vitesse du premier train par rapport au second.

Maintenant, la situation des deux trains étant symétrique, la longueur d'une règle de mesure unité dans le premier train et qui est au repos par rapport au second doit être la même que celle d'une règle de mesure unité dans le second et au repos par rapport au premier train. Prenons une photo instantanée des deux trains par exemple à  un t = 0 (temps mesuré dans le premier train) :

Donc, si dans le second train, deux points sont distants de Δx' = 1, ils le sont de Δx = 1/a dans le premier.

Prenons l'instantané dans le second train maintenant (t' = 0), en éliminant t et en introduisant v, on obtient :

On en déduit que, dans le premier train, deux points séparés d'une distance 1, ont sur notre instantané dans le second train une distance :

Comme les deux instantanés doivent être identiques (Δx=Δx') :

Le passage d'un référentiel à  l'autre se fait donc par une nouvelle loi de transformation, dite loi de transformation de Lorentz, différente de la loi galiléenne de la
mécanique classique :

Si γ est proche de 1, on retrouve la transformation galiléenne. La présentation donnée ci-dessus, basée sur des arguments géométriques uniquement, a l'avantage de la simplicité.

Etablissement des transformations de Lorentz

Les transformations de Galilée conservent le produit scalaire : :

Dans l'espace-temps de Minkowski, de tenseur métrique :
Ce qui veut dire que l'on doit différencier les coordonnées covariantes, des coordonnées contravariantes. On définit la pseudo-norme : :
Les transformations de Lorentz doivent conserver la pseudo-norme : :
Les transformations de Lorentz doivent être linéaire à  coefficients constants. Dans toute la suite, les indices primés correspondent aux coordonnées dans le référentiel , de plus les répétitions de lettres grecques voudront dire sommation de 0 à  4, et les répétitions de lettres latines de 1 à  3.

Les transformations s'écrivent sous la forme matricielle :
Les pseudo-produits scalaires sont invariants pas transformations de Lorentz :

soit donc : o๠est le symbole de Kronecker. L'inverse de la matrice est sa transposée : La transformation du tenseur métrique se retrouve en ayant à  l'esprit l'invariance du pseudo-produit scalaire :

On en déduit que donc ou dans la suite, on se placera dans le cas o๠le déterminant est positif, et appelé groupe propre orthochrone de Lorentz. Les transformations s'écrivent alors :

On considère un corps au repos dans le repère , alors , d'o๠:
soit :

Ensuite il y a ces relations à  démontrer :
Pour les expressions (2), il suffit d'utiliser la relation : avec et \\mu'=\ u'=0' soit :

Pour les expressions (3) :

Pour les expressions (4), nous partons de , avec et

Pour les expressions (5) les relations de transformations du tenseur métrique donnent :
, en prenant

Pour les expressions (6) :
avec  et  en remarquant :  pour  et  on obtient :
or :
d'o๠:
On prend le déterminant :

Pour les expressions (7) : Nous considérons le groupe propre orthochrone de Lorentz, donc de plus (matrices orthogonales), on a donc : , on a donc

Transformations spéciales de Lorentz

On appelle transformations spéciales de Lorentz, la transformation satisafaisasnt les conditions suivantes :
les axes (Oxyz) du référentiel R et (O'x'y'z') du référentiel R' sont respectivement parallèles. L'axe (O'x') glisse le long de l'axe (Ox) à  la vitesse constante v mesurée dans R.
les hotloges de R et R' sont synchronisées à  t=t'=0 losrque les orignies O et O' coà¯ncident. Nous passons donc de R à  R' :

On obtient donc les transformations spéciales de Lorentz :

Transformations générales de Lorentz

Les transformations générales de Galilée sont :

Nous décomposons le vecteur suivant deux directions : celle parallèle au déplacement et celle orthogonale à  celle-ci : :

Les transformations de Lorentz donnent :
or
obtenant :
d'o๠l'espression des transformations générales de Lorentz :

Conséquences

  1. la dilatation du temps : de même, le concept de temps absolu vole en éclat. Un sablier (ou tout autre instrument de mesure du temps) s'écoulera plus rapidement dans le référentiel fixe que dans le référentiel en mouvement.
  2. si Δx' est nul, montre qu'un intervalle de temps dans R' n'a pas la même valeur dans R
  3. la contraction des longueurs dans la direction du déplacement : la mesure de longueur selon x est plus courte dans le référentiel fixe que dans le référentiel en mouvement.
  4. la relativité de la simultanéité
  5. le paradoxe des jumeaux. Ce fameux paradoxe dà» à  Paul Langevin s'énonce ainsi. Supposons que sur un couple de frères jumeaux, l'un parte en un long voyage dans une fusée capable d'atteindre des vitesses relativistes, c'est-à -dire proches de la vitesse de la lumière, avant de revenir sur Terre. Puisque son temps propre se sera écoulé plus lentement que le temps propre de son frère resté sur Terre, il aura moins vieilli que ce dernier. Ce paradoxe ne concerne nullement la relativité restreinte, car celle-ci, à  son niveau, ne prend pas en compte les accélérations (et il y aura nécessairement des accélérations si la fusée "revient""). En revanche il montre immédiatement pourquoi la relativité générale a dà» être développée.

Petites expériences de pensée

Très prisées d'Einstein lui-même, les "expériences de pensée" (GedankenExperiment en allemand) n'ont d'autre but que de bien appréhender les phénomènes contre-intuitifs introduits par les conséquences mentionnées ci-dessus.

"Deux horloges s'éloignent l'une de l'autre en ligne droite. D'après la théorie de la Relativité, c'est chacune d'elle qui est censée retarder par rapport à  l'autre, ce qui paraît contradictoire selon le sens commun".

En réalité, cela ne pose pas de problème : chaque horloge a "son point de vue", et la "contradiction" alléguée ne peut se manifester que si on les ramène cà´te à  cà´te pour les comparer. Mais cela implique alors un changement de direction d'au moins l'une d'elles, et la Relativité générale intervient alors, o๠les accélérations (et donc aussi freinages et changements de direction, qui sont d'autres noms de la même chose) ont leur propre influence sur l'écoulement du temps. La différence de temps entre les horloges sera alors fonction de leurs accélérations (ou non) respectives, et n'aura cette fois-ci rien à  voir avec la Relativité restreinte. N'oublions pas en effet que si les vitesses de deux corps l'un par rapport à  l'autre sont relatives (et cela même dans le vieux système galiléen), leurs accélérations, elles, ne le sont pas : une estrade tournant autour d'un manège supposé fixe ne présentera pas du tout le même comportement pour ceux qui s'y trouvent qu'une estrade posée devant un manège supposé mobile ! (voir aussi Pendule de Foucault).

"La vitesse de la lumière est censée rester la même dans tous les repères. En ce cas quid d'un photon qui suit un autre photon ? Le premier va-t-il vraiment à  la vitesse de la lumière par rapport au photon qui le suit ? En ce cas, pourquoi restent-ils à  la même distance ?"

Physiquement, la question peut paraître insoluble, mais on a le droit d'imaginer ce qui se passe en considérant des "particules" hypothétiques se déplaçant par exemple à  0,9 c, 0,99 c, 0,999 c. On s'aperçoit qu'asymptotiquement le temps se ralentit dans le repère associé à  ces particules. Par passage à  la limite (il s'agit d'une simple expérience de pensée!), le temps de trajet tend vers zéro à  mesure que la vitesse se rapproche de c. Rien d'étonnant donc à  ce que l'"éloignement" de ces "particules" au cours du "trajet" tende vers zéro aussi.

Remarquons que dans le repère lié à  ces particules, la vision de la chose est bien plus simple : c'est l'univers entier qui se contracte de plus en plus à  mesure qu'on imagine la vitesse se rapprochant de c. Si l'on avait le droit de passer à  la limite (on a toujours le droit de le faire mathématiquement, même si physiquement ce n'est pas réalisable), on dirait que les photons ont simplement, de leur point de vue, "franchi une distance nulle" !

En termes plus savants : "La courbe d'univers d'un rayon lumineux dans l'espace-temps de Minkowski est une géodésique de longueur nulle" (x² + y² + z² - t² = 0).

On remarquera aussi que la limitation de vitesse à  c ne vaut que pour un observateur extérieur. à€ cause de ce ralentissement de son temps propre, le passager d'un corps mobile à  vitesse relativiste aurait bien l'impression en regardant sa montre d'aller aussi vite qu'il le veut entre deux points. Hélas, cette impression ne vaut que pour lui.

"Un coureur très rapide court à  0,999c en portant sur son épaule une échelle de 10 mètres. Il doit traverser une grange de 10 mètres dont on peut fermer les deux portes opposées simultanément (par exemple par des faiseaux laser).

Du point de vue de l'observateur lié à  la grange, l'échelle est très rétrécie dans le sens du parcours, et il sera facile de fermer les "portes" sans dommage un très bref instant quand l'échelle ainsi rétrécie sera dans la grange. Mais dans le système lié au coureur, c'est la grange elle-même qui est rétrécie dans le sens du parcours, et l'opération est impossible ! N'y a-t-il pas là  une contradiction, puisqu'en relativité les phénomènes sont censés justement ne pas dépendre du repère depuis lequel on les observe ?"

Il y a effectivement une contradiction : c'est l'emploi du mot "simultanément" : ce qui est simultané dans un repère ne l'est pas dans un autre. Le coureur verra apparemment la porte 1 s'ouvrir, puis les deux portes rester ouvertes simultanément pour lui, et la seconde se fermer sans encombre derrière son passage.

"Soient deux rangées parallèles d'électrons disposées en chapelet rectiligne. Vus depuis un observateur immobile, il s'agit de charges électrostatiques de même signe, qui se repoussent. Vus depuis un observateur en mouvement rapide, il s'agit de deux rayons cathodiques parallèles et de même sens, et qui doivent donc s'attirer, ce qui est incompatible sur le plan des observations ? Comment expliquer le paradoxe ?"

De la façon la plus simple qui soit : dans le cas de l'observateur en mouvement, il ne faut pas oublier d'appliquer la transformation de Lorentz (voir calculs relativistes), o๠électricité et magnétisme se permutent quelque peu ! En aucun cas, donc, pour l'observateur en mouvement, le chapelet de charges n'apparait comme de simples rayons cathodiques parallèles.

A-t-on le droit de dire comme cela se fait couramment : "Nous voyons actuellement la lumière d'étoiles en ce moment éteintes" ?

Oui et non. Stricto sensu, l'expression "à  cent mille années-lumière en ce moment" n'a pas de sens réel, car on ne sait définir - et ne doit donc pas parler - de simultanéité sur de telles distances. Dans la pratique, en revanche, on peut considérer cela comme une simple convention de langage simplifiant l'expression, comme on tolère de dire que le soleil se lève à  l'Est. La phrase signifie en fait que si nous nous déplacions vers cette étoile à  la vitesse de la lumière, nous la trouverions éteinte en arrivant, mais rien d'autre.

Certains physiciens considèrent cette expression (souvent utilisée par Hubert Reeves) comme antipédagogique car pouvant faire considérer la vitesse de la lumière comme on considère la vitesse du son. Or le phénomène décrit par la Relativité est tout à  fait différent : nous n'avons pas affaire de simples questions de délai de transmission de la lumière qui rendraient difficile une synchronisation objective entre objets éloignés, mais bien la déformation des longueurs en fonction des vitesses et le caractère relatif de ces dernières qui interdit jusqu'à  l'espoir de pouvoir réaliser ou même définir une synchronisation objective. Du moins dans le cadre de cette théorie.

Équations de la Mécanique relativiste

L'équation fondamentale de la Mécanique classique appliquée à  une particule de masse m est :

o๠F est la somme des forces appliquées sur la particule.

En tenant compte des formules de Lorentz, on a donc :

remplacé par et donc remplacé par

La quantité de mouvement de la particule est alors :

Son énergie cinétique est définie par :

Si on pose que l'énergie cinétique d'une particule au repos (v = 0) est nulle, on obtient la valeur de la constante d'intégration :

Dans le cas o๠v << c, on retrouve l'expression classique de l'énergie cinétique :

On peut donc définir une masse de la particule comme étant l'énergie au repos m c² L'énergie totale de la particule est alors la somme de son énergie de masse, et de son énergie cinétique :

On peut faire plusieurs observations :
  1. la valeur de l'énergie totale de la particule dépend du référentiel de l'observateur. Cependant, la valeur de l'énergie de masse est identique dans tous les référentiels, et en particulier dans le référentiel propre de la particule. C'est donc une caractéristique intrinsèque de la particule.
  2. lorsque v tend vers c, γ tend vers l'infini, ce qui signifie qu'il faudrait fournir une énergie infinie pour accélérer une particule jusqu'à  atteindre la vitesse de la lumière. Ceci est évidemment impossible, ce qui se traduit par l'impossibilité pour une particule massive de se mouvoir à  la vitesse de la lumière. On arrive cependant à  accélérer des particules à  des vitesses très proches de c.
Pour une particule au repos, on a équivalence de la masse et de l'énergie, formule célèbre qui restera gravée sur le tombeau d'Einstein :
Poser cette équivalence fut un pas révolutionnaire, car les concepts de matière et d'énergie étaient complètement distincts jusque là , bien que certains mathématiciens comme Poincaré ou Lorentz avaient indépendamment tenté le rapprochement dans le domaine de l'électromagnétisme.

Pourquoi n'y a-t-il pas eu de Nobel pour la Relativité ?

Il est admis que l'idée de relativité restreinte était due au travail concourant et égal d'au moins trois personnes : Henri Poincaré (qui signale déjà  qu'il faut renoncer à  l'idée de temps absolu dans "La Science et l'hypothèse" dès 1902), Henrik Lorentz pour sa transformation, et Albert Einstein pour avoir regroupé le tout dans un cadre propre. Toutefois, Poincaré décéda en 1912 - avant que la communauté scientifique ne soit convaincue du bien-fondé de la Relativité - et on ne pouvait décerner de co-prix Nobel à  un mort. Minkowski, lui, avait disparu en 1909. Et Lorentz, déjà  prix Nobel en 1902, mourut en 1928.

La relativité générale est en revanche bien attribuée à  Einstein seul. Pourtant celui-ci n'obtint pas d'autre prix Nobel que celui déjà  obtenu pour son étude de l'effet photoélectrique. Un comble concernant Einstein qui n'avait jamais été très enthousiaste pour la théorie quantique...

Pour l'anecdote

L'équation E=mc² était dit-on déjà  apparue avant Einstein dans la thèse de docteur-ingénieur d'un physicien italien. Mais celui-ci, n'y voyant pas d'intérêt pratique, s'était borné à  la mentionner comme simple curiosité. Einstein avait plusieurs fois séjourné en Italie, mais rien n'indique qu'il ait eu à  l'époque connaissance de ce travail.

Voir aussi

Liens externes