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Ressort

  

Les ressorts sont des éléments élastiques très répandus dans toutes sortes de machines et d'équipements. Leurs fonctions sont très diverses, on peut citer dans le désordre : On peut distinguer plusieurs grandes catégories de ressorts en fonction des matériaux utilisés, qui peuvent être des métaux, des élastomères, des matériaux composites ou encore des gaz.

Sommaire
1 Ressorts métalliques
1.1 Matériaux et traitements
1.2 Caractéristiques générales des ressorts
1.3 Ressorts dont la matière travaille en torsion
1.4 Ressorts dont la matière travaille en flexion
1.5 Ressorts métalliques divers
2 Ressorts en élastomères
3 Ressorts en matériaux composites
4 Ressorts à  gaz

Ressorts métalliques

Pour l'instant, ce chapitre est limité à  l'étude statique de quelques types courants de ressorts métalliques.

Si la conception d'un ressort de qualité nécessite de solides connaissances dans les domaines de l'analyse des contraintes et de la mécanique rationnelle, la concrétisation d'un projet pose des questions de choix de matériaux (nature, traitements), de mise en forme et surtout de qualité de surface (structure, contraintes résiduelles, rugosités) dès lors que l'on travaille sur un mécanisme en mouvement.

Bien que de nombreux ressorts soient sollicités à  des fréquences assez élevées ou très élevées, nous nous limiterons ici à  une étude statique ou quasi-statique. Quand les déformations ont lieu à  faible vitesse, les variations de charge sont répercutées sans décalage de temps dans toute la masse du ressort. Par contre, dans le cas d'un fonctionnement dynamique à  haute fréquence, les charges appliquées à  une extrémité d'un ressort ne sont pas transmises instantanément jusqu'à  l'autre ; ce retard engendre des phénomènes vibratoires que l'on peut parfois mettre à  profit mais qui sont le plus souvent indésirables. Les motoristes, par exemple, n'apprécient guère la "danse" des ressorts de soupapes.

Les ressorts, évidemment destinés à  se déformer sous charge, sont fondamentalement différents des autres pièces mécaniques que l'on souhaite ordinairement aussi peu déformables que possible. Nous utiliserons malgré tout les formules classiques des poutres étudiées en résistance des matériaux, bien qu'elles ne soient applicables en toute rigueur que dans le cas de petites déformations. De toute manière, la précision apportée au calcul des ressorts n'a de sens que si l'on dispose des matériaux permettant d'obtenir et surtout de conserver dans la durée les caractéristiques adéquates.

Matériaux et traitements

Sans entrer dans le détail, disons qu'un bon matériau pour réaliser des ressorts possède une résistance vive élastique Re2 / 2.E aussi grande que possible, Re étant la limite d'élasticité et E le module d'YOUNG de ce matériau. Toutefois, une haute limite d'élasticité ne suffit pas, il faut qu'elle s'accompagne d'une bonne résilience et d'une bonne endurance vis-à -vis des efforts alternés.

Parmi les aciers, une première famille est celle des aciers mangano-siliceux contenant de 1,5 à  2 % de silicium, 0,6 à  0,7 % de manganèse, 0,4 à  0,6 % de carbone, avec éventuellement un peu de chrome, de tungstène, de molybdène ou de vanadium. Citons les nuances suivantes : 45S7 (ressorts à  lames), 55S7, 45SCD6, 60SC7, (barres de torsion), 45SW8. On trouve aussi des aciers au chrome, avec du vanadium, du manganèse ou du silicium-molybdène, par exemple : 45C4, 50CV4.

L'ELINVAR ("acier" à  33 % de nickel, 12 % de chrome, 1,2 % de manganèse) a un module d'YOUNG indépendant de la température. Il sert à  la fabrication de ressorts destinés à  des appareils de précision (galvanomètres, sismographes, chronomètres, diapasons, etc.).

La limite d'élasticité des aciers baisse rapidement lorsque la température s'élève. Les alliages du type INCONEL à  base de nickel (45 à  75 %), de chrome (15 %), de cobalt, molybdène, tungstène, titane, fer, et aluminium conservent des propriétés correctes jusqu'à  400-500 °C.

La corde à  piano est (en principe) un fil d'acier à  0,8 - 1 % de carbone, dont la surface polie est exempte de défauts ou d'imperfections notables susceptibles d'amorcer des ruptures de fatigue. On atteint normalement une limite d'élasticité Re = 1 210 MPa pour le fil de 0,5 mm et Re = 1 125 MPa pour le fil de 13 mm. Toutefois, il faut se méfier de la « corde à  piano » achetée au rayon bricolage du supermarché du coin, car elle risque fort de ne pas approcher ces performances...

Un matériau trop peu connu mais largement utilisé en construction électrique est le cuivre au béryllium (1 à  2 %). Il permet de réaliser des ressorts très bons conducteurs de l'électricité et de la chaleur. Sa limite d'élasticité atteint 100 MPa, avec une très bonne endurance.

Les alliages à  mémoire de forme (par exemple, le Nitinol, alliage de nickel, titane et cuivre) constituent une solution intéressante quand la détente du ressort doit être différée dans le temps. Ils présentent plusieurs propriétés très spéciales, entre autres l'effet mémoire simple sens qui permet à  l'alliage de retrouver sa forme initiale après une déformation mécanique ou thermique et l'effet mémoire double sens qui le rend capable après " éducation " d'avoir deux positions stables au-dessous et au-dessus d'une certaine "température critique". Des ressorts peuvent ainsi rester "au repos" à  température ambiante et devenir "actifs" si leur température augmente. Ils ont des applications fort intéressantes en orthodontie, dans les systèmes d'assemblage, les appareillages de sécurité, etc.

Aux très basses températures (-150 à  -200 °C), les aciers sont presque tous extrêmement fragiles mais on peut utiliser d'autres métaux comme... le plomb ! Bien sà»r, un ressort en plomb ne doit jamais être ramené sous charge à  la température ambiante.

Il n'est pas dans notre intention d'entrer ici dans le détail des procédés de fabrication. Signalons simplement que tous les ressorts sérieux subissent des traitements mécaniques qui, mettant en compression les couches superficielles du métal, minimisent la formation et la propagation des fissures de fatigue. Ces traitements peuvent être le galetage (barres de torsion) ou le grenaillage de précontrainte (en anglais shot peening). La préconformation des ressorts est également une solution pour créer, aux endroits les plus sollicités, les contraintes résiduelles de compression ou de cisaillement adéquates.

Caractéristiques générales des ressorts

Courbes effort-déformation

La première façon de définir les caractéristiques d'un ressort consiste à  tracer la courbe représentant sa déformation (translation ou rotation) en fonction de l'effort appliqué (force ou moment). En général, cette courbe n'est pas parfaitement assimilable à  une droite, bien que cette forme soit la plus fréquemment recherchée. L'approximation est d'autant meilleure que les déformations sont plus petites.

Si, par exemple, nous étirons un ressort hélicoà¯dal, nous tendons à  redresser son fil enroulé en hélice, la déformation augmente de moins en moins vite avec la charge (courbe 1).

Dans l'hypothèse d'une déformation linéaire nous pouvons trouver divers cas :

'''Dans tout ce qui suit, nous supposerons implicitement que les ressorts étudiés possèdent une caractéristique linéaire.'''

Leur déformation, une flèche f ou bien un angle de torsion θ, est alors proportionnelle à  la force P ou au couple C qui l'a provoquée.

La raideur d'un ressort est définie comme le quotient :

(N/m) ou  (Nm/radian).

L'inverse de la raideur, 1/k, est la souplesse ou compliance.

Aspects énergétiques

Si nous considérons maintenant, pour un ressort donné, la courbe qui donne la charge P en fonction de la flèche f, nous faisons apparaître sous forme d'une petite surface élémentaire le travail mécanique qu'il faut fournir au ressort pour passer de la flèche f à  la flèche f + df. Ce travail vaut tout simplement dW = P.df

Le travail nécessaire pour amener un ressort de l'état libre (f = 0 et P = 0) à  la flèche F est représenté par l'aire sous la courbe et vaut d'une manière générale :

Si le ressort possède une caractéristique quasi linéaire alors et donc :

Si la déformation est très lente, le travail nécessaire pour comprimer le ressort est emmagasiné sous forme d'énergie potentielle et peut être restitué presque intégralement lors du retour à  l'état initial. En cas de déformation rapide, la masse du ressort n'étant pas nulle, une partie de l'énergie mise en jeu est transformée en énergie cinétique... et le problème se complique ! L'énergie de déformation du ressort est "dispersée" en chaque point de sa matière. Un volume élémentaire dV de métal, soumis à  la traction, peut emmagasiner une énergie dW proportionnelle à  la contrainte qui lui est appliquée :

Cette énergie élémentaire est maximale lorsque la contrainte σ atteint la limite d'élasticité :

Nous retrouvons ici qui est la résistance vive élastique du matériau.

Un ressort idéal de volume V, dont toute la matière travaillerait par exemple en traction simple et à  sa limite d'élasticité, pourrait donc emmagasiner l'énergie potentielle théorique :

En fait, seule une partie de la matière peut matériellement être contrainte jusqu'à  la limite d'élasticité et l'énergie qu'un ressort emmagasine réellement n'atteint qu'une fraction λ de la valeur théorique Wo. λ est le coefficient d'utilisation.

Bien que, paradoxalement, λ puisse en théorie et dans le cas le plus général dépasser 1 (à  cause des contraintes résiduelles), en pratique il varie ordinairement entre ¼ et ²⁄₃.

Il faut presque toujours, par sécurité, se réserver une marge assez importante par rapport à  la limite d'élasticité ou, dans les applications dynamiques, par rapport à  la limite de fatigue. Si, par exemple, la zone la plus contrainte l'est seulement à  la moitié de la limite d'élasticité, l'énergie emmagasinée est divisée par 4... d'o๠l'intérêt de cerner avec précision les coefficients de sécurité.

L'énergie emmagasinée par unité de masse peut atteindre approximativement, en J/kg :

Notons que les ressorts sont en fait de piètres accumulateurs d'énergie si on les compare à  d'autres dispositifs. Ainsi, la batterie d'accumulateurs d'une automobile stocke environ 1 000 fois plus d'énergie que ne le ferait un ressort de même masse.

Les impératifs

Quel qu'en soit le type, un ressort convenablement conçu doit :

  1. résister aux charges maximales qui lui seront appliquées, lesquelles n'engendreront qu'une contrainte au plus égale à  la contrainte admissible dans la zone la plus sévèrement sollicitée (condition de résistance).
  2. se déformer selon les besoins et donc posséder une raideur bien définie (condition de déformation).

Naturellement, d'autres impératifs viennent très vite s'ajouter, à  commencer par les limites d'encombrement et de masse. Il faut également tenir compte de la disponibilité de la matière première et des dimensions normalisées des demi-produits, en particulier des diamètres des fils et des barres.

Ressorts dont la matière travaille en torsion

Barre de torsion

La barre de torsion est un des ressorts les plus simples. Si nous négligeons les extrémités, sa partie active est une barre pleine de diamètre d et de longueur L, ou bien un tube de diamètre intérieur di et de diamètre extérieur de.

L'une des extrémités de la barre est encastrée et considérée comme fixe, l'autre, dite libre, est reliée aux éléments mobiles.

L'application essentielle des barres de torsion est la suspension des véhicules, particulièrement de ceux dont les roues sont indépendantes. On les utilise non seulement sur des véhicules légers, mais aussi sur des engins de masse importante (char d'assaut par exemple) et beaucoup de véhicules tous terrains.

Appelons Mt le moment de torsion appliqué à  l'extrémité libre de la barre et α l'angle dont tourne cette extrémité par rapport à  l'autre, sous l'effet de ce moment.

Condition de résistance
La contrainte maximale de cisaillement vaut :

avec (barre pleine)

ou (tube)

Condition de déformation

L'angle de rotation de l'extrémité libre vaut :

avec (barre pleine)

ou (tube)

La raideur vaut

Nous noterons que les inconnues sont faciles à  obtenir à  partir des formules : en effet, pour un matériau donné, les diamètres de la barre ou du tube sont fixés par la condition de résistance, ensuite la condition de déformation impose la longueur.

Problèmes pratiques
Dans les barres de torsion à  section circulaire, le problème délicat est celui des attaches, au niveau desquelles il ne faut pas provoquer de concentration de contraintes. Le plus souvent, un cà´ne de demi angle au sommet proche de 30°, raccordé à  la barre par un large congé de raccordement (rayon r ~ 1,5.d), permet l'augmentation de diamètre nécessaire à  la réalisation des cannelures qui seront engagées dans les parties femelles des pièces de liaison.

Notons la possibilité d'associer une barre et un tube de torsion afin de diminuer l'encombrement en longueur (suspension dite "DUBONNET").

Ressort hélicoà¯dal de traction ou compression

Ce type de ressort, encore appelé "ressort à  boudin", peut être considéré comme une barre de torsion que l'on aurait enroulée en hélice. C'est sans doute le plus courant.

La partie active du ressort comporte un fil enroulé selon une hélice régulière, mais il faut tenir compte des extrémités destinées à  assurer la liaison avec l'environnement. Le dessin ci-dessous représente un ressort de compression à  extrémités rapprochées et meulées.

Retenons immédiatement :

Précisons les notations utilisées :

Nous supposerons dans ce qui suit que les hypothèses suivantes sont vérifiées :

L'application d'un effort axial entraîne l'existence, au niveau d'une section droite quelconque du fil, Compte tenu de la faible inclinaison du fil, nous négligerons le moment de flexion et l'effort normal (le premier produit une rotation d'une extrémité du ressort par rapport à  l'autre, rotation qui doit être libre pour conserver leur validité aux calculs). Nous écrirons par ailleurs :

Condition de résistance
Il faut examiner ici la répartition des contraintes dans le fil :

Si nous ne tenons compte que du moment de torsion, les contraintes de cisaillement sont réparties comme l'indique la figure 1. Elles sont maximales sur la périphérie du fil, o๠elles valent :

Cette formule n'est guère utilisable que pour des avant-projets.

Si nous prenons en compte l'effort tranchant, supposé uniformément réparti sur la section du fil, nous arrivons à  la répartition indiquée par la figure 2.

Que le ressort travaille en traction ou en compression, les deux contraintes tangentielles s'ajoutent au point I situé à  l'intérieur du ressort.

La correction faite est telle que :

Le terme correcteur qu'il faut ajouter est d'autant plus grand que le rapport m = D/d est petit, ce qui caractérise un ressort "raide". Ceci sera justifié par la suite.

En réalité, il faut encore tenir compte de la courbure de la "poutre" constituant le ressort. La répartition des contraintes n'est pas linéaire et prend l'allure donnée sur la figure 3, avec un maximum très marqué au point intérieur I o๠s'amorcent presque toujours les ruptures de fatigue, comme celle que l'on peut voir ici :

La contrainte τm se calcule en pratique à  partir de la contrainte τ que l'on multiplie par un coefficient correcteur K (ne pas confondre avec la raideur) dépendant du rapport D/d. Ce coefficient K peut être déterminé par lecture sur l'abaque ci-dessous ou encore calculé grà¢ce à  des formules plus ou moins empiriques.

Voici par exemple une de ces formules, donnée par ROEVER :

soit

avec en posant m = D/d

Condition de déformation

La résistance des matériaux donne la valeur de la flèche par spire active (dans le cadre des hypothèses simplificatrices énoncées plus haut) :

Si nous connaissons la flèche f que doit prendre le ressort sous l'effet de la charge P, nous pouvons très facilement en déduire le nombre de spires actives nécessaires :

soit

La raideur du ressort s'écrit alors :

TIMOSHENKO propose de corriger cette valeur en fonction de la valeur de m :

avec

Une telle correction n'a d'intérêt que si m < 5. Dans le cas contraire le coefficient 9 est très proche de 1 et l'on ne corrige pas (ex : si m = 10, b = 1, 002).

Instabilité latérale

Pour les ressorts de compression de grande longueur il est nécessaire de prévoir un guidage pour éviter le phénomène de flambage, lequel est favorisé par le déplacement latéral des appuis, par les vibrations, etc.

La courbe ci-dessous donne la limite à  partir de laquelle le flambage devient hautement probable, pour des ressorts dont les appuis sont correctement réalisés.

Variation du diamètre d'enroulement sous charge

Lorsqu'un ressort de compression est guidé dans un tube avec un jeu insuffisant, il risque de se trouver bloqué car le fil tend à  se dérouler sous l'effet du moment de flexion, ce qui provoque l'augmentation du diamètre extérieur. De étant le diamètre extérieur et p le pas d'enroulement du ressort à  vide, on trouve le nouveau diamètre extérieur D'e du ressort chargé à  bloc (les spires sont alors jointives) grà¢ce à  la formule :

(selon Tools Engineers Book)

Bien que le cas soit nettement plus rare, il pourrait en être de même pour un ressort de traction monté sur une tige de trop fort diamètre, à  cause cette fois de la diminution du diamètre intérieur.

Notions sur la fabrication

Dans un fil tordu, tant que l'on reste dans le domaine élastique, les contraintes de cisaillement restent proportionnelles à  la distance au centre de la section. Il n'en va pas de même si l'on dépasse la limite d'élasticité : l'écrouissage des zones périphériques s'accompagne d'une limitation des contraintes maximales et d'une surcharge concomitante des zones intérieures. On peut se débrouiller pour que cette situation se produise lorsque le ressort est comprimé à  bloc.

Si on relà¢che l'effort, on ne revient pas à  l'état initial, les contraintes dans les zones internes chargent les zones externes en sens contraire.

Une nouvelle charge appliquée au ressort engendrera dans le fil des contraintes qui resteront inférieures à  la limite d'élasticité, tant qu'elle restera inférieure à  la charge de préconformation, c'est-à -dire tant que le ressort ne sera plus comprimé à  bloc. Le domaine d'élasticité du ressort se trouve ainsi étendu, par rapport à  ce qu'il serait sans préconformation.

Notons que certains fabricants proposent des ressorts munis de pièces d'appui spécialement étudiées, comme ci-dessous :

Rappelons que pour un bon appui, surtout si les spires terminales ne sont pas meulées, le nombre total de spires doit être un multiple impair de 0,5 :

n + n' = (2 e + 1) 0,5 avec e entier

Les ressorts de traction sont généralement enroulés à  spires jointives grà¢ce à  une torsion du fil. Il ne faut plus alors les traiter à  chaud. La photo ci-dessous montre deux ressorts de traction montés l'un dans l'autre, de façon à  obtenir une plus grande raideur dans un encombrement donné.

Les extrémités des ressorts de traction sont munies d'un anneau qui permet de les accrocher aux mécanismes sur lesquels elles doivent agir. Il existe différentes manières de les réaliser :

Calcul d'un ressort en hélice cylindrique
Nous disposons d'un certain nombre de données que nous devons exploiter au mieux :

(1) Résistance aux efforts : D/d = m n'étant pas connu a priori, nous ne savons pas quelle valeur adopter pour le coefficient de correction K. Pour nous faire une première idée, nous pouvons choisir un matériau, diminuer de 15 à  20 % sa contrainte admissible de cisaillement et utiliser la formule approchée :

Si nous fixons a priori m, nous fixons également K. Nous pouvons alors remplacer D par m.d dans la formule complète et en tirer une valeur de d :

Naturellement cette valeur a toutes les chances de ne pas convenir : les diamètres des fils du commerce sont en effet normalisés et il convient de ne pas oublier ce "détail"... Nous choisirons en conséquence le diamètre d dans la série suivante (valeurs en mm) :

0,15   0,20   0,25   0,30   0,35   0,40   0,45   0,50
0,55   0,60   0,65   0,70   0,75   0,80   0,85   0,90
0,95   1      1,1    1,2    1,3    1,4    1,5    1,6 
1,7    1,8    2      2,3    2,5    2,8    3      3,2 
3,5    3,8    4      4,2    4,5    4,8    5      5,5 
6      6,5    7      7,5    8      8,5    9      10 
11     12     13     14 

(2) Raideur : avec un peu de patience nous aurons peut être fini par tirer de la formule précédente deux valeurs plausibles de d et D. Le nombre de spires sera alors facile à  obtenir à  partir de la raideur du ressort :

Il faut que nous ayons à  nouveau beaucoup de chance pour que ce nombre soit convenable : compte tenu du fait que d et D interviennent à  des puissances élevées il est probable que ce calcul nous donnera une valeur aberrante de n, par exemple 250 spires ou 0,47 spire.

(3) Fabrication : elle impose, comme nous l'avons signalé, les proportions du ressort :

(4) Linéarité : elle impose de limiter la valeur de l'angle d'inclinaison d'hélice, on admet généralement la valeur suivante :

(5) Encombrement extérieur : le diamètre De doit rester inférieur à  une certaine valeur si le ressort est monté dans un alésage. Attention, dans ce cas, à  l'augmentation de De lorsque le ressort est comprimé !

(6) Encombrement intérieur : le diamètre Di doit être supérieur à  une certaine valeur si le ressort est enfilé autour d'une tige.

(7) Hauteur maximale : il se peut que la hauteur du ressort monté soit limitée par la place disponible.

(8) Hauteur minimale : on ne peut plus comprimer un ressort dont les spires sont devenues jointives ... ce qui est de toute manière une situation parfaitement anormale en fonctionnement.

La détermination peut être faite au moyen d'abaques et l'on a fabriqué jadis des règles à  calcul spéciales. Nous pouvons aussi tracer sur un même graphique les courbes correspondant aux diverses conditions ci-dessus : elles définissent, sauf pour les malheureux qui sont poursuivis par la scoumoune, une zone plus ou moins étendue dans laquelle peuvent être choisies de nombreuses combinaisons de d et D.

On préfère utiliser aujourd'hui des programmes informatiques qui offrent une aide efficace à  la conception des ressorts. Reste, dans tous les cas, à  mener à  bien l'optimisation ...

Abaque pour les ressorts de traction-compression
Cet abaque permet de déterminer rapidement les caractéristiques d'un ressort hélicoà¯dal en « corde à  piano », dans le cas o๠l'on souhaite procéder immédiatement à  la réalisation, même si c'est « avec les moyens du bord ». On part de la charge maximale et des proportions D/d, ce qui permet d'obtenir immédiatement le diamètre du fil, le diamètre d'enroulement et la flèche par spire. Compte tenu de la flèche totale, on en déduit le nombre de spires actives.

abaque pour les ressorts hélicoà¯daux attention : 520 ko ... mais vous pouvez l'imprimer pour obtenir un document utilisable !

Ressorts apparentés

Au lieu d'un fil rond, on peut utiliser d'autres formes, elliptique, rectangulaire, ... Parfois, les ressorts à  fil rectangulaire sont obtenus par taillage dans un tube.

Les ressorts coniques sont enroulés à  pas constant (sur le ressort à  l'état libre, on s'élève d'une même quantité à  chaque tour) ou à  pente constante (les spires sont de plus en plus serrées au fur et à  mesure que l'on se rapproche de l'extrémité de petit diamètre). - dans le premier cas, on peut obtenir une raideur de plus en plus forte au fur et à  mesure de la compression (les spires de plus fort diamètre sont les plus souples et se compriment « à  bloc » les premières) ou un encombrement minimal une fois la compression réalisée. - dans le second cas, on minimise la variation de raideur, les spires s'écrasent de façon à  peu près simultanée mais une fois complètement aplati, le fil prend l'aspect d'une spirale de plus en plus là¢che au fur et à  mesure que l'on s'éloigne du centre. Notons que tous les ressorts coniques ne peuvent pas se mettre « à  plat ».

Pour les ressorts en volute on n'utilise plus du fil mais des bandes de tà´le spéciale découpées selon divers profils. Si l'on souhaite une raideur variable, alors il faut adopter une largeur constante de façon que les spires de plus grand diamètre s'affaissent les premières. Si au contraire on souhaite que la raideur reste constante, alors il faut faire en sorte que la section aille en augmentant de l'intérieur vers l'extérieur. Il est également possible de réaliser des ressorts en double volute comme celui qui est (mal) dessiné ci-dessous.

Outre leurs caractéristiques mécaniques un peu spéciales, les ressorts en volute ont la particularité de présenter une structure fermée, limitant les risques de blocage par des corps étrangers. Le ressort en double volute, par exemple, est très souvent utilisé pour écarter les deux branches des sécateurs. Les jardiniers n'aiment pas beaucoup les sécateurs munis de ressorts hélicoà¯daux ordinaires, car les brindilles s'y coincent facilement !

Ressorts dont la matière travaille en flexion

Ressort à  lames

Nous nous contenterons ici d'un calcul de prédimensionnement (on dit parfois d' « équarrissage ») permettant de se faire une idée pas trop farfelue de l'encombrement qu'aurait un véritable ressort à  lames réalisé selon les règles de l'art. Ce type de ressort, qui est une affaire de spécialiste, est surtout utilisé pour la suspensions de véhicules.

Forme de base
Une lame encastrée à  une extrémité et chargée à  l'autre peut évidemment servir de ressort mais les contraintes maximales règnent du cà´té de l'encastrement tandis que l'extrémité libre, qui a le même module de flexion I/v que l'autre, est peu sollicitée.

Pour mieux utiliser la matière, on cherche évidemment à  se rapprocher d'une forme d'égale résistance qui est dans ce cas de figure une forme de largeur constante et de hauteur variant selon une loi parabolique (inutilisable ici), ou bien une lame triangulaire de hauteur constante, qui va nous servir de base de calcul.

Si bo est la largeur de cette lame au niveau de l'encastrement et L sa longueur, la largeur de la lame au point M d'abscisse x s'écrit :

Le moment de flexion en M est

La contrainte maximale de flexion est constante tout au long de la lame :

Condition de résistance
Elle découle du calcul précédent :

Condition de déformation

Dans l'hypothèse, classique mais ici irréaliste, de petites déformations, nous pouvons calculer la flèche f de l'extrémité libre sous l'effet de la charge P :

Notons que les deux conditions de résistance et de déformation imposent ensemble l'épaisseur maximale de la lame :

Après que nous avons arrondi l'épaisseur à  une valeur normalisée, il en résulte la détermination de bo, qui donne généralement des dimensions prohibitives pour la lame ...

Découpage en lames
Après avoir découpé la lame triangulaire comme indiqué ci-après, "ressoudé" les morceaux latéraux deux à  deux, élargi la lame la plus longue (lame maîtresse), nous pouvons rassembler les lames élémentaires pour former un système étagé que nous supposerons équivalent au précédent.

En pratique, de nombreuses modifications interviennent et rendent très complexe l'étude d'un tel ressort : formes des extrémités des lames, frottements, systèmes d'attache, etc.). Pour réaliser un paquet de lames à  peu près "carré" au niveau des attaches, si n est le nombre de lames, il faut écrire :

Si nous choisissons a priori un nombre de lames raisonnable, nous pouvons alors combiner les diverses formules pour trouver la longueur minimale du ressort, lequel sera alors le plus léger que l'on puisse réaliser.

Par exemple, nous pouvons poser bo = n2.e et reporter cette valeur dans les formules :

(résistance)

(flèche)

En éliminant e, nous trouvons :

Ceci ne constitue certes pas LE calcul de détermination d'un ressort à  lames, mais nous avons maintenant une idée de l'encombrement que pourrait avoir une solution de ce type.

Quelques problèmes de réalisation
Les formes réelles seront assez éloignées de la forme théorique d'égale résistance que nous venons de voir :


Si l'on ajoute la possibilité de réaliser des ressorts à  lames étagées de toutes formes, symétriques ou non, à  faible ou forte courbure, etc., il devient évident que les formules théoriques établies au début de ce paragraphe doivent être pour le moins revues et corrigées. En fait, chaque ressort nécessite une étude individualisée.

Le frottement entre les lames produit des pertes d'énergie notables (le travail de déformation du ressort est loin d'être intégralement restitué au moment de la détente) mais ces pertes contribuent à  l'amortissement des vibrations, par exemple dans le cas des ressorts de suspension. Cependant, outre le fait qu'il fausse un peu plus les formules, le frottement est capable d'engendrer le phénomène de corrosion-frottement (poudre rouge) très destructeur. Pour éviter ou au moins pour freiner cette forme particulière d'usure, une lubrification protectrice est absolument indispensable et il ne faut surtout pas que l'état de surface des lames soit trop bon. Au contraire, il faut utiliser les lames "brutes de laminage".

Préconformation
C'est à  propos du ressort à  lames que l'on comprend le plus facilement l'intérêt du traitement de préconformation, qui consiste à  charger un ressort au-delà  du point o๠il commence à  prendre une déformation permanente pour, en quelque sorte, l'endurcir.

Ressort spiral à  spires nombreuses

Le ressort spiral type, à  spires non jointives et donc sans frottement, est composé d'un ruban de section rectangulaire encastré à  une extrémité B et solidaire à  l'autre extrémité 0 d'un axe perpendiculaire au plan d'enroulement.

Nous supposerons que l'axe est mobile sans frottement et, ce qui est moins évident, qu'il ne tend pas à  se déplacer radialement lorsqu'on le fait tourner sous l'effet d'un couple C.

Dans ces conditions, tout couple perpendiculaire au plan d'enroulement, appliqué en O, se trouve transmis intégralement en B, ce qui ne serait pas le cas si en ce point l'extrémité n'était pas encastrée mais simplement accrochée, comme ce sera probablement le cas pour cette réalisation industrielle :

Condition de résistance
Si la lame élastique a pour largeur b (comptée perpendiculairement au plan d'enroulement) et pour épaisseur e, alors :

Condition de déformation
Pour une poutre soumise à  la flexion, une variation du moment fléchissant entraîne une variation de la courbure (inverse du rayon de courbure), telle que :

L'intégration sur l'ensemble de la longueur L du ruban fournit l'angle de rotation θ de l'extrémité O :

(θ est évidemment en radians)

En éliminant C entre les deux formules, il vient :

Fabrication
Le ressort spiral, essentiellement utilisé dans l'appareillage de précision (montres, appareils électriques, ...) fait l'objet d'une fabrication très spéciale dont les modes opératoires et les essais sont codifiés par le Centre Technique de l'Industrie Horlogère. L'obtention de spires non jointives et équidistantes nécessite, au départ, une conformation spéciale du ruban. Ce dernier, s'il était droit au départ, se disposerait en effet naturellement sous la forme d'un rouleau à  spires jointives de comportement très différent à  cause des frottements. On trouve une telle disposition dans le cas des ressorts qui rappellent les mètres à  ruban dans leur boîtier.

Plus encore peut-être que tout autre, le ressort spiral est une affaire de spécialistes !

Montage
Nous avons supposé que l'extrémité du ressort était encastrée et affirmé que dans ces conditions le couple transmis par la lame était identique en tout point de cette dernière. Si par contre l'extrémité du ressort est simplement accrochée en B, le moment est nul en ce point et variable tout au long du ruban, avec un maximum atteignant presque 2C !

Le mode de fixation influe donc énormément sur la contrainte maximale.

Ressort hélicoidal pour la torsion

A part la forme spécifique de ses extrémités, ce ressort est identique à  un ressort hélicoà¯dal de traction-compression à  très faible angle d'hélice, ou même à  un ressort de traction à  spires jointives si l'on recherche un certain frottement interne, par exemple pour favoriser l'amortissement de vibrations.

Nous supposerons que notre ressort a des spires non jointives et très peu inclinées (travaillant en flexion presque pure) et que ses extrémités sont encastrées. Si tel n'était pas le cas la précision des formules serait passablement altérée et la répartition des contraintes modifiée dans un sens nettement défavorable.

Il faut toutefois reconnaître que dans un très grand nombre de mécanismes o๠les critères de précision sont secondaires, les extrémités sont accrochées ou plus simplement encore appuyées.

Condition de résistance

C'est en fait la même que pour le ressort spiral, sauf que l'expression du moment d'inertie est différente. Si le fil n'est soumis qu'à  la flexion (extrémités encastrées ...), le moment est alors identique en tout point et donc :

La section du fil peut être quelconque, par exemple carrée ou elliptique. Dans le cas le plus courant d'un fil rond, la formule précédente devient :

Condition de déformation

L'angle de rotation θ de l'extrémité mobile par rapport à  l'extrémité fixe est là  encore, au moment d'inertie près, identique à  celle du ressort spiral :

(cas général)

(fil rond)

Fabrication

La manière de faire est, grosso modo, la même que pour les ressorts hélicoà¯daux de traction-compression. C'est bien sà»r la forme des extrémités qui est différente. On se reportera donc au chapitre évoqué ci-dessus, en particulier pour les diamètres de fil.

Ressorts métalliques divers

Rondelles tronconiques

Ce type de ressort est fréquemment utilisé lorsque l'on souhaite une faible flexibilité sous forte charge. On le trouve couramment dans le commerce sous la désignation de rondelle BELLEVILLE.

Outre leur faible coà»t, ces rondelles ont l'avantage de pouvoir être associées de diverses manières, ce qui permet non seulement d'obtenir la raideur souhaitée pour l'ensemble, mais encore de créer des systèmes à  raideur variable. Les formules donnant la résistance et la déformation de ces rondelles sont très complexes et sans intérêt pratique puisque généralement ces produits sont achetés dans le commerce. Toutefois, certaines rondelles spéciales, possédant des caractéristiques particulières, peuvent être fabriquées à  la demande. La rondelle élémentaire a un diamètre intérieur d, un diamètre extérieur D, une épaisseur e et une hauteur à  vide H. La flèche maximale sous charge vaut : h = H - e

Condition de résistance

Les rondelles BELLEVILLE sont généralement calculées pour que l'on puisse les aplatir complètement sans les déformer de façon permanente. Il existe donc une charge P dite charge d'aplatissement. Au-delà  de cette valeur, la rondelle ne se déforme pratiquement plus et elle peut en fait supporter des charges très élevées sans le moindre risque de rupture, comme le ferait une rondelle plate ordinaire. Il est donc pratiquement impossible de surcharger les rondelles BELLEVILLE, ce que l'on peut considérer comme un avantage considérable !

Condition de déformation

Les rondelles les plus courantes ont une déformation presque linéaire, de sorte que la raideur peut être exprimée par :

Cependant, il est possible de fabriquer des rondelles ayant des propriétés élastiques très différentes, comme le montrent les courbes charge-flèche en fonction du rapport h/e.

Association de rondelles

Les rondelles peuvent être empilées dans le même sens, en "paquets". Un paquet de n rondelles identiques n'a que la flèche maximale h d'une rondelle unique, mais sa charge d'aplatissement est n P ; si k est la raideur, supposée constante, d'une rondelle unique, la raideur K de l'ensemble est donc :

Si les rondelles sont empilées en opposition, la charge d'aplatissement est la même que pour une rondelle unique, tandis que les flèches s'ajoutent. Un empilement de n rondelles en opposition a donc pour raideur :

Diverses combinaisons sont présentées ci-dessous, permettant d'obtenir des ressorts aux caractéristiques presque linéaires s'ils sont réalisés avec le bon type de rondelles. Remarquons qu'il est facile d'ajuster la raideur d'un empilement contenant un nombre suffisamment important de rondelles.

Si par exemple nous empilons en opposition deux paquets de deux rondelles, la flèche maximale sera 2h et la charge d'aplatissement 2P ... le résultat sera un ressort de même raideur qu'une rondelle unique mais de performances plus étendues. Voici quelques combinaisons usuelles :

	

La figure ci-dessous montre un limiteur de couple dans lequel l'élément élastique est constitué par deux rondelles Belleville.

D'autres dispositions sont plus subtiles. Si, par exemple, nous mettons en opposition un paquet de deux rondelles avec une rondelle unique, la flèche maximale sera 2h et la charge d'aplatissement 2P, comme dans le cas précédent. Par contre, la courbe caractéristique sera une ligne brisée et non plus un segment de droite. En effet, il faut considérer deux phases distinctes lors de la compression du système :

Une telle association donne un ressort d'abord relativement flexible, puis très raide. On peut évidemment inventer de nombreuses autres combinaisons !

Diaphragmes

Divers fabricants proposent des pièces standardisées qui fonctionnent comme les rondelles Belleville mais en beaucoup moins raide. Il faut consulter leurs catalogues pour plus d'information.

On voit ci-dessous un ressort-diaphragme en coupelle à  lames multiples utilisé en particulier dans certains embrayages, une rondelle Ringspann et un diaphragme conique Borrelly :

Ressorts annulaires

On réalise des systèmes élastiques à  hauteur variable en empilant des bagues coniques. De tels systèmes, soumis à  une charge axiale, diminuent de longueur en raison de la dilatation des bagues extérieures et de la contraction des bagues intérieures. Les anneaux intérieurs "mà¢les" pénètrent dans les anneaux extérieurs "femelles" :

Les frottements très importants qui se produisent entre les bagues sont tels que la force axiale fournie lors de la détente de l'empilement est très largement inférieure à  celle qui était appliquée lors de la mise en charge. Ils provoquent une perte d'énergie considérable qui correspond à  la zone hachurée du diagramme représentant le cycle compression-détente. On peut mettre à  profit cette particularité dans certains mécanismes comme les tampons du matériel roulant ferroviaire, o๠ils contribuent à  absorber les chocs.

En remplaçant une ou plusieurs des bagues intérieures complètes par des bagues fendues, on peut donner à  ce ressort un tout autre comportement : il devient « mou » au début de sa déformation, puis de plus en plus « dur » :

Rondelles ondulées

Il en existe de multiples types. On les utilise par exemple pour rattraper des jeux ou pour remplacer les ressorts à  boudin comme ressorts de rappel. Voici quelques exemples industriels (doc. SMALLEY) :

La figure de gauche représente l'utilisation de rondelles élastiques dans un limiteur de débit. Plus la pression de fluide à  l'entrée est forte, plus le piston se déplace vers la droite et plus les orifices de sortie du fluide se trouvent rétrécis. Le dessin de droite montre un raccord rapide de tuyauterie avec un système de retenue par billes. Les rondelles assurent le verrouillage des billes qui retiennent la partie mà¢le (non représentée).

Pièces élastiques diverses

Il existe d'innombrables pièces élastiques jouant le rà´le de ressorts dans beaucoup de mécanismes, avec des caractéristiques spécifiques et donc en-dehors de la production standardisée. Voici par exemple une pièce en fil galbé :

Les joints d'étanchéité Bal-Seal possèdent des ressorts à  spires aplaties qui leur donnent l'élasticité radiale nécessaire pour un bon contact intérieur et extérieur sur les pièces à  étancher :

De nombreux ressorts sont réalisés à  partir de feuillard dit « tà´le bleue » découpé et mis en forme à  la demande. Pour le matériel électrique, lorsque l'on a besoin de pièces à  la fois élastiques et bonnes conductrices, on fait appel dans les mêmes conditions au cuivre au béryllium :

Signalons enfin la possibilité de réaliser des pièces plus complexes par découpage, emboutissage et formage :

Ressorts en élastomères

Outre le fait qu'il est beaucoup plus faible que celui des métaux, le module d'élasticité des caoutchoucs varie avec la forme de l'élément élastique, qui varie elle-même beaucoup avec la charge appliquée. Il est donc pratiquement impossible d'obtenir des caractéristiques linéaires, surtout dans le cas des ressorts de compression.

En fait, cette particularité est souvent mise à  profit pour amortir les vibrations entre les deux éléments reliés par le ressort. En effet, l'énergie apportée par la vibration sinusoà¯dale d'un élément va se trouver répartie, à  la sortie, entre la fréquence fondamentale et ses harmoniques, qui en sont des multiples. Or, on sait que plus une vibration a une fréquence élevée et plus elle est facile à  amortir.

Si les ressorts en caoutchouc ont une très bonne résistance aux sollicitations dynamiques, ils subissent aussi, à  des degrés divers, les effets de l'hystérésis mécanique qui fait que la reprise de leur forme initiale n'est pas instantanée après qu'ils ont subi une déformation. Ceci est dà» au comportement toujours plus ou moins viscoélastique de ces matériaux. N'oublions pas que le phénomène d'hystérésis est avant tout un phénomène de retard d'un effet sur une cause.

Cet hystérésis provoque la transformation en chaleur, à  l'intérieur même du matériau visco-élastique, d'une partie de l'énergie fournie. Le caoutchouc étant mauvais conducteur de la chaleur, il en résulte un échauffement interne susceptible, pour des mécanismes mal étudiés, d'entraîner la dégradation ou la destruction du caoutchouc. Signalons aussi que le module d'élasticité varie avec la température, avec la vitesse d'application de la charge, et qu'il évolue au cours du temps en raison du vieillissement du matériau.

Tous ces facteurs interagissent et dans ces conditions, on comprend facilement que les caractéristiques d'un ressort en caoutchouc ne peuvent pas être définies avec la même précision que celles d'un ressort métallique. Par contre, il est relativement facile d'obtenir des modules d'élasticité et des capacités d'amortissement très variables, en jouant sur la nature et les proportions des constituants du mélange à  utiliser.

Ressorts en matériaux composites

Ressorts à  gaz