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Systèmes de numération

      

Cet article fait partie de la série
Systèmes de numération
Chiffre arabe
Numération arabe
Numération arménienne
Numération babylonienne
Numération chinoise
Numération égyptienne
Numération grecque
Numération gotique
Numération hébraà¯que
Numération indienne
Numération japonaise
Numération maya
Numération romaine
Numération slave
Numération thaà¯.

Les méthodes traditionnelles de représentation des entiers étaient additives, très régulières comme la numération grecque ou moins uniformes comme la numération romaine. Aucune ne nécessitait l'utilisation du zéro. Le développement ci-dessous porte sur les numérations de position.

Un système de numération est une méthode d'écriture des nombres fondée sur une base de numération.

Une base de numération est un entier supérieur ou égal à  2. Soit N une base de numération, le système de numération est doté de N chiffres allant de 0 à  N-1.

Le système de numération le plus couramment utilisé est le système décimal (base 10), fondé sur les mathématiques indiennes, mais d'autres systèmes ont été ou sont utilisés, par exemple en informatique, o๠on se sert fréquemment du système binaire (base 2), du système octal (base 8) et du système hexadécimal (base 16). Dans ce dernier cas, les chiffres supérieurs à  9 sont représentés par les lettres de A à  F. Boby Lapointe avait eu une intuition comique d'un tel système qu'il avait baptisé Système bibi-binaire.

Les Babyloniens utilisaient le système sexadécimal (base 60), ainsi que les Indiens et les Arabes en trigonométrie et encore aujourd'hui dans la mesure du temps et des angles. Le système vicésimal (ou vigésimal, base 20) a été utilisé par les Gaulois, les Mayas et les Basques. Certains historiens estiment que la civilisation de la vallée de l'Indus utilisait initialement un système octal.

Enfin, le système impérial d'unités utilisés dans les pays anglo-saxons est, partiellement, duodécimal.

Sommaire
1 Conversion d'un nombre en base 10 en base N
2 Conversion d'un nombre en base N en base 10
3 Voir aussi

Conversion d'un nombre en base 10 en base N

Pour passer d'un nombre en base 10 à  un nombre en base N, on peut appliquer la méthode suivante ::

Soit K le nombre en base 10 à  convertir en base N.

  1. Effectuer la division entière de K par N. Soit D le résultat de cette division et R le reste
  2. Si D > N, recommencer en 1
  3. Sinon, l'écriture en base N de K est égal à  la concaténation du dernier résultat et de tous les restes en commençant par le dernier.

Conversion d'un nombre en base N en base 10

Pour passer d'un nombre en base N à  un nombre en base 10, on peut appliquer la méthode suivante ::

Soit K le nombre en base N à  convertir. Pour tout chiffre c de rang r dans K, on calcule cà—N r. La représentation de K en base 10 est la somme de tous les produits.

Exemple
Le nombre "10110" en base 2 s'écrit en base 10 :

1à—24 + 0à—23 + 1à—22 + à—21 + à—20 = 22 (base 10)

Exemple
Le nombre "3FA" en base 16 s'écrit en base 10 :
3à—162 + 15(F)à—161 + 10(A)à—160 = 1 018 (base 10)

Voir aussi