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Techniques de calcul mental

Avant d'exposer les différentes techniques de calcul mental, il est essentiel de souligner que ces techniques ne sont pas naturelles et ne transforment pas quelqu'un qui ne sait pas compter en une calculatrice humaine en un clin d'Å“il; il faut pour se les approprier s'entraîner, et les pratiquer régulièrement.

Sommaire
1 Calcul d'une différence: a-b
2 Calcul d'un produit: aà— b
3 Voir aussi
4 Calcul approximatif d'une racine carrée

Calcul d'une différence: a-b

Calcul direct

Lorsque l'on est placé dans le cas très favorable o๠les chiffres de b sont tous plus petits que les chiffres de a, on peut se contenter de raisonner chiffre à  chiffre: 872-41 se calcule ainsi en retranchant 1 au chiffre des unités, et 4 à  celui des dizaines: 831.

Remodeler les entiers

Lorsque l'on ne se trouve pas dans une situation favorable, il y a a priori une retenue ; il faut alors ruser, et pour cela, on va calculer autre chose que ce que l'on veut:

Calcul d'un produit: aà— b

Multiplier par dix

Une multiplication par 10 consiste uniquement à  rajouter un 0 à  droite du nombre; c'est donc une opération très élémentaire.

Multiplier par deux

C'est un cas particulier de multiplication, o๠l'on peut quasiment travailler chiffre à  chiffre; ce n'est pas tout à  fait le cas car on peut avoir une retenue, mais si retenue il y a, c'est forcément 1, ce qui simplifie malgré tout les choses. Il faut néanmoins calculer de droite à  gauche: 2à— 167 est donné par un 4 avec retenue, plus un 2 (donc 3) avec retenue, plus un 2 (donc 3), soit 334.

Multiplication par cinq

Il s'agit d'une multiplication par dix suivie d'une division par deux; donc pour multiplier par cinq, il faut savoir diviser par deux! Il faut lire le nombre de gauche à  droite, et diviser les chiffres par deux, en ajoutant éventuellement 5 au chiffre suivant si le chiffre qu'on a divisé était impair (après l'avoir divisé). Par exemple: 176à— 5=1760 à· 2, donc 0, 5+3, 3+5 et 0, soit: 880.

Multiplication par neuf

Il suffit de remarquer que 9=10-1, donc pour multiplier par 9, il suffit de multiplier le nombre par dix, et de le soustraire au résultat; par exemple, 9à— 27=270-27=243. Il faut donc savoir soustraire...

Multiplication: {6-10} à— {6-10}

Cette technique permet de multiplier un nombre entre 6 et 10 par un autre entre 6 et 10.

Cette technique utilise les dix doigt des deux mains, face à  face:

-10-- -10--
--9-- --9--
--8-- --8--
--7-- --7--
--6-- --6--

Deux exemples :

haut:
      -10--
      --9--
      --8--
-10-- --7--
bas:
--9-- --6--
--8-- 
--7-- 
--6--  

- 5 doigts en bas font 5 dizaines - 4 doigts en haut à  droite - 1 doigt en haut à  gauche

résultat: 9à— 6 = 50 + 4à— 1 =54

haut :
-10--
--9-- 
--8-- -10--
--7-- --9--
bas :
--6-- --8--
      --7--
      --6--
     
- 4 doigts en bas font 4 dizaines - 2 doigts en haut à  droite - 4 doigts en haut à  gauche

résultat: 6à— 8 = 40 + 2à— 4 =48

Le fonctionnement : chaque doigt représente un chiffre (entre 6 et 10), on joint les deux doigts dont on veut multiplier les chiffres correspondant (x et y). Les doigts en bas indiquent les dizaines, on en a (x-5)+(y-5) ; les doigts à  gauche en haut indiquent (10-x) et ceux à  droite en haut (10-x).

Et [(x-5)+(y-5)]à— 10 + (10-x)à— (10-y)=xà— y.

Multiplication d'un nombre à  2 chiffres par onze

Une astuce consiste à  faire la somme du premier chiffre avec le second, puis de l'ajouter entre les deux ; ainsi 17 à— 11 = 187, 35 à— 11 = 385, etc

utiliser les carrés

On peut utiliser les carrés des entiers, pour calculer des produits pour les petits nombres; par exemple, pour calculer 13à— 17, on peut remarquer que l'on est en train de calculer (15-2)à— (15+2), donc 152-22, d'après l'une des
identités remarquables, c'est-à -dire 225-4=221, ce qui donne le résultat très rapidement, puisque l'opération devient une simple soustraction.

Cela demande néanmoins de connaître par cÅ“ur un certain nombre de carrés:

Il faut néanmoins remarquer que si on ne connaît que certains de ces carrés, les identités remarquables permettent de calculer les autres facilement...

Remodeler les entiers

Le calcul à  effectuer ne fait pas forcément intervenir des nombres qui se prêtent aux techniques précédentes, néanmoins, on peut forcer le passage de diverses manières: 27à— 9=243, puis 243à— 2=486, 486à— 2=972, et finalement 972à— 2=1944.

Vérifier son résultat

Ordre de grandeur

Si en multipliant deux nombres plus petits que 100 on trouve plus de 10000, il y a assurément un problème! Ces considérations sont très empiriques et ne repèrent que les erreurs grossières, mais c'est la méthode la plus rapide.

Chiffre des unités

Si vous multipliez les chiffres des unités de a et b, le chiffre des unités du résultat est le chiffre des unités de aà—b; exemple: 27à—72 doit finir par un 4. Cette vérification permet de vérifier un chiffre avec certitude.

Preuve par neuf

L'opération de base est la « somme des chiffres Â», qu'il faut comprendre au sens large: il faut en fait renouveler l'opération pour n'avoir plus qu'un chiffre. Par exemple, on dira que la somme des chiffres de 1944 est 9, même s'il a fallu faire un calcul de somme des chiffres deux fois pour l'obtenir.

Pour vérifier que le nombre c que l'on vient d'obtenir en calculant aà—b est correct, on calcule:

On compare les deux résultats, qui doivent être égaux; ici, 9 et 8 suggèrent que le calcul de 1844 comme étant 27à—72 est faux.

Cette méthode de vérification est très bonne: si on a simplement fait une petite erreur de retenue, elle permettra de la repérer à  coup sà»r; il faut avoir fait un nombre d'erreurs considérables et avoir relativement peu de chance pour que cette méthode ne repère pas le problème! Il faut néanmoins faire appel au calcul des congruences pour saisir dans quelle mesure elle est fiable, et comment elle fonctionne.

Voir aussi

Calcul approximatif d'une racine carrée

Cette technique permet d'obtenir environ trois bonnes décimales par opération. On doit savoir que (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. Il suffit de choisir un b tellement petit que le terme b2 est négligeable. Par exemple, si on a la racine de 15 à  calculer, on sait que la racine de 16 est 4. On doit prendre un b qui fait que (4 - b)2 = 15 ou presque. Puisque (4 - b)2 = 16 - 2à—4à—b environ, on prend b = (16-15) à· (2à—4), c'est-à -dire 1/8 ou 0,125. La racine carrée de 15 vaut donc environ 4 - 0,125 ou 3,875. Si on veut plus de précision, on recommence. Puisque notre 4 initial était à  notre choix, on peut recommencer avec 3,88 au lieu, si on trouve que 3,875 est trop précis. Nous avons donc (3,9 - b)2 = 15. b = (15 - 3,882) à· (2à—3,88) = (15 - 15,05) à· (7,86) = environ 0,05 à· 8 donc environ 0,0068. La racine de 15 est maintenant évaluée à  3,88 - 0,0068 ou 3,8732. La valeur donnée par une calculatrice est 3.8730.