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Théorie des catégories

 

mathématiques

De l'aveu même de l'un de ses créateurs, Saunders MacLane la théorie des catégories est un "abstract nonsense"... ce qui doit pouvoir se traduire par "abstraction délirante".

Quoi qu'il en soit, la théorie des catégories n'a rien de délirant. Elle constitue un chapitre essentiel des mathématiques contemporaines.

Sommaire
1 Définition
2 Exemples
3 Catégorie duale
4 Propriétés des flèches
5 Propriétés des objets

Définition

Il est vrai que pour définir une catégorie (notons-la ), on demande peu:

Plus précisément, les objets d'une catégories ne doivent vérifier aucune hypothèse. Par contre, les flèches doivent en vérifier quelques unes, tout à  fait raisonnables: Lorsqu'une catégorie est courante, certains lui donnent comme nom l'abréviation du nom de ses objets, entre parenthèses pour signaler qu'il s'agit de leur catégorie; nous suivrons ici cette convention.

Exemples

Les exemples précédents ont une propriété en commun: les flèches sont toujours des applications, et les objets des ensembles (ce sont des catégories concrètes); cette propriété est très particulière. Voici des exemples de catégories sans cette propriété:

cet exemple est particulièrement intéressant dans le cas suivant: l'ensemble est l'ensembles des ouverts d'un espace topologique, et la relation est l'inclusion; cela permet de définir les notions de préfaisceau et de faisceau, via les foncteurs.

Catégorie duale

A partir d'une catégorie , on peut définir une autre catégorie , dite opposée ou duale, en prenant les mêmes objets, mais en inversant le sens des flèches.

Plus précisément: , et la composition de deux flèches opposées est l'opposée de leur composition:

Il est clair que la catégorie duale de la catégorie duale est la catégorie de départ: .

Cette opération de dualisation extrèmement simple permet néanmoins de symétriser la plupart des énoncés, ce qui est parfois douloureux pour les débutants...

Propriétés des flèches

Définitions

Une flèche est dite un monomorphisme lorsqu'elle vérifie la propriété suivante: pour tout couple de flèches (et donc aussi pour tout ), si , alors .

Une flèche est dite un épimorphisme lorsqu'elle vérifie la propriété suivante: pour tout couple de flèches (et donc aussi pour tout ), si , alors .

Les notions de mono et d'épi sont duales l'une de l'autre: une flèche est mono si et seulement si elle est épi dans la catégorie duale.

Une flèche est dite un isomorphisme s'il existe une flèche telle que et . Cette notion est autoduale.

Exemples

Propriétés des objets