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Théorie des nÅ“uds

  

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La théorie des nÅ“uds est en quelque sorte l'étude mathématique de bouts de ficelles idéalisés. La théorie des nÅ“uds est donc très proche de la théorie des tresses.

Plus formellement, on considère les plongements du cercle dans l'espace euclidien de dimension 3. Un nÅ“ud est un tel plongement considéré à  déformation près. Il s'agit donc plutà´t ici de ficelles sans bouts que de nÅ“uds au sens habituel.

Le problème principal est de déterminer si deux plongements différents sont en fait le même nÅ“ud. Pour cela, il convient de construire des invariants des nÅ“uds, qui sont des fonctions sur l'ensemble des plongements qui ne dépendent que du nÅ“ud. Une fois défini un invariant, il faudra encore chercher à  savoir dans quelle mesure il prend des valeurs différentes sur des nÅ“uds différents.

La théorie des nÅ“uds a une longue histoire. On peut peut-être la faire commencer avec des travaux de Gauss liés à  l'électromagnétisme.

Parmi les principaux invariants des nÅ“uds, citons le polynà´me de Jones, le polynà´me d'Alexander, le polynà´me HOMFLY, le groupe fondamental du complémentaire, les invariants de Vassiliev et l'intégrale de Kontsevich.

Parmi les derniers invariants introduit, il a y notamment des groupes d'homologie de nÅ“uds définis par Khovanov.

La théorie des nÅ“uds est toujours en plein développement.